règle de Raabe-Duhamel

Prenons les nombres 1, 1/4, 1/9, 1/16… Deux termes successifs deviennent presque égaux en proportion : leur rapport se rapproche de 1. Le critère habituel du rapport s'arrête alors trop tôt. La règle de Raabe-Duhamel observe plus finement la vitesse de ce rapprochement, à l'échelle de 1/n. Si le coefficient ainsi dégagé dépasse 1, les termes diminuent assez vite pour que leur somme reste finie ; s'il est inférieur à 1, la somme diverge.

La règle de Raabe-Duhamel est un critère de convergence pour une série dont le terme général, noté u_n, est un réel strictement positif. Elle intervient lorsque le quotient de deux termes consécutifs tend vers 1, situation dans laquelle le critère de d'Alembert est muet.

On cherche un réel α tel que le quotient possède le développement asymptotique suivant : $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\alpha }{n}+o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{n}\right)\backslash frac\{u\_\{n+1\}\}\{u\_n\}=1-\backslash frac\{\backslash alpha\}\{n\}+o\backslash !\backslash left(\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash right)$. Le symbole o(1/n) représente un reste qui, divisé par 1/n, tend vers 0. De façon équivalente, la quantité n(1 − u_n+1/u_n) tend vers α.

Si α est strictement supérieur à 1, la série ∑u_n converge. Si α est strictement inférieur à 1, elle diverge. À la valeur charnière α = 1, aucune conclusion n'est permise. Nommé d'après Jean-Marie Duhamel et Joseph Raabe (1801-1859), ce critère est un cas particulier du critère de Kummer.

Soit (u_n) une suite de réels strictement positifs. Si, pour un réel α, le quotient de deux termes consécutifs vérifie $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\alpha }{n}+o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{n}\right)\backslash frac\{u\_\{n+1\}\}\{u\_n\}=1-\backslash frac\{\backslash alpha\}\{n\}+o\backslash !\backslash left(\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash right)$, alors la série ∑u_n converge lorsque α > 1 et diverge lorsque α < 1. Lorsque α = 1, la règle de Raabe-Duhamel ne tranche pas.

La règle porte sur une série ∑u_n dont les termes sont réels et strictement positifs, au moins à partir d'un certain rang. Il faut pouvoir former le quotient u_n+1/u_n et déterminer son écart à 1 au premier ordre en 1/n.

Une vérification pratique consiste à étudier la limite ${\lim }_{n\to +\mathrm{\infty }}n(1-\frac{u_{n+1}}{u_n})=\alpha \backslash lim\_\{n\backslash to+\backslash infty\}n\backslash left(1-\backslash frac\{u\_\{n+1\}\}\{u\_n\}\backslash right)=\backslash alpha$. Une limite réelle différente de 1 fournit le verdict. L'existence de la seule limite u_n+1/u_n = 1 ne suffit pas.

Si cette limite vaut 1, par exemple pour u_n = 1/n, le test est bloqué alors que la série harmonique diverge. Il faut alors conserver un terme asymptotique supplémentaire ou employer un autre critère adapté à la série.

Étudions la série de terme général u_n = 1/n², pour n ≥ 1. Les données sont des termes strictement positifs et l'exposant constant 2.

1. Le quotient de deux termes consécutifs est $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n^2}{(n+1{)}^2}\backslash frac\{u\_\{n+1\}\}\{u\_n\}=\backslash frac\{n^2\}\{(n+1)^2\}$. Il tend vers 1, donc le critère de d'Alembert ne conclut pas.

2. On mesure l'écart à 1 à l'échelle de n : $n(1-\frac{u_{n+1}}{u_n})=\frac{n(2n+1)}{(n+1{)}^2}n\backslash left(1-\backslash frac\{u\_\{n+1\}\}\{u\_n\}\backslash right)=\backslash frac\{n(2n+1)\}\{(n+1)^2\}$.

3. En divisant numérateur et dénominateur par n², cette quantité tend vers 2. Le coefficient de Raabe-Duhamel est donc α = 2.

4. Comme 2 > 1, la série ∑1/n² converge. Le contrôle est refaisable : pour n = 10, le coefficient vaut exactement 210/121, soit environ 1,736 ; pour n = 50, il vaut 5050/2601, soit environ 1,941. Ces valeurs se rapprochent bien de 2.

La courbe du coefficient rend visible le passage au-dessus du seuil 1 puis son rapprochement progressif vers la limite 2.

Quand le quotient u_n+1/u_n tend vers une limite strictement inférieure ou supérieure à 1, le critère de d'Alembert donne déjà la réponse. Raabe-Duhamel devient utile précisément lorsque cette limite vaut 1.

On calcule alors n(1 − u_n+1/u_n). Une limite supérieure à 1 prouve la convergence ; une limite inférieure à 1 prouve la divergence.

Si le résultat vaut exactement 1, on s'arrête sans verdict. Le bon réflexe est d'affiner le développement asymptotique ou de choisir un autre critère, plutôt que de forcer la conclusion.

Avec le critère de d'Alembert. Celui-ci compare directement la limite du quotient u_n+1/u_n à 1. Pour u_n = 1/n², ce quotient tend vers 1 et d'Alembert est muet, tandis que Raabe-Duhamel examine l'écart de taille 1/n et obtient α = 2.

Avec un simple équivalent du terme général. Raabe-Duhamel exploite le rapport de deux termes successifs et exige un contrôle au premier ordre. Savoir seulement que u_n tend vers 0 ne décide jamais la convergence d'une série : 1/n et 1/n² tendent tous deux vers 0, mais leurs séries ont des comportements opposés.

Le seuil α = 1. C'est un cas réellement indécis, pas une preuve de divergence. Les termes 1/n donnent une série divergente, tandis que les termes 1/[n(log n)²], définis pour n ≥ 2, donnent une série convergente ; dans les deux cas, le coefficient de premier ordre vaut 1.

Un reste trop grand. Écrire seulement u_n+1/u_n = 1 − α/n + O(1/n) ne suffit pas : le reste est du même ordre que le terme censé définir α. Il faut un reste o(1/n), ou calculer directement la limite du coefficient.

Des termes nuls ou de signe variable. Le quotient peut être indéfini et les hypothèses du critère ne sont plus satisfaites. Il faut alors étudier la convergence absolue lorsque cela est pertinent, ou choisir un critère conçu pour les séries à signes variables.

Le critère de d'Alembert constitue le premier test par quotient et permet de repérer exactement le cas limite que Raabe-Duhamel affine.

La notation de Landau précise le sens du reste o(1/n) et aide à manipuler sans ambiguïté le développement asymptotique du quotient.