AnalyseNotion · Glossaire
Duhamel Jean Marie Constant
Jean-Marie-Constant Duhamel est un mathématicien et physicien français qui a appliqué l'analyse aux phénomènes physiques. La règle de Raabe-Duhamel affine le critère d'Alembert pour une série dont les termes sont strictement positifs à partir d'un certain rang : si la limite obtenue en multipliant par le rang l'écart entre le quotient d'un terme par le suivant et 1 existe, la série converge au-dessus de 1 et diverge au-dessous de 1. Au seuil 1, le critère ne permet pas de conclure.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer les étapes attestées du parcours de Jean-Marie-Constant Duhamel.
- Relier ses recherches sur la chaleur et l'acoustique aux applications de l'analyse.
- Appliquer la règle de Raabe-Duhamel à la série des inverses des carrés.
- Reconnaître les hypothèses et les cas où ce critère ne conclut pas.
En clair
En 1828, Jean-Marie-Constant Duhamel étudie à Paris la propagation de la chaleur dans des solides dont la conductibilité dépend de la direction. Il mobilise pour cela les équations aux dérivées partielles, qui relient les variations d'une grandeur dans l'espace et le temps.
Son parcours relie ainsi l'analyse mathématique à des phénomènes physiques concrets, notamment la chaleur et le son. Son nom reste aussi attaché à une règle qui aide à décider si l'addition infinie de termes positifs aboutit à une somme finie.
Définition
Jean-Marie-Constant Duhamel est un mathématicien et physicien français né à Saint-Malo en 1797 et mort en 1872. Entré à l'École Polytechnique en 1814 comme second de sa promotion, il en sort en 1816 sans emploi en raison du contexte politique. Il se tourne vers l'enseignement, puis occupe à partir de 1830 des chaires à l'École Polytechnique et à la Sorbonne. Il contribue ainsi à la diffusion de l'analyse mathématique.
Ses premiers travaux, entrepris dès 1828, concernent la propagation de la chaleur dans les solides à conductibilité anisotrope, c'est-à-dire dépendante de la direction. Ils utilisent des équations aux dérivées partielles. Ses recherches s'étendent ensuite à l'acoustique et, plus largement, aux applications de l'analyse aux phénomènes physiques. Duhamel est élu à l'Académie des Sciences en 1840.
Son nom est associé à la règle de Raabe-Duhamel, également appelée règle de Raabe-Darboux-Duhamel. Pour une série dont les termes sont strictement positifs à partir d'un certain rang, on note an le terme de rang n. Lorsque la limite suivante existe, le critère compare sa valeur L au seuil 1 : . Si L est supérieur à 1, la série converge ; si L est inférieur à 1, elle diverge. Au seuil L = 1, cette règle ne conclut pas.
Un exemple, pas à pas
Considérons la série des inverses des carrés. Ses données sont les suivantes : le rang n est un entier positif, le terme de rang n vaut an = 1/n2, et tous les termes sont strictement positifs.
1. Le terme suivant vaut an+1 = 1/(n + 1)2.
2. Le quotient des deux termes se simplifie : .
3. La quantité testée par la règle vaut exactement : .
4. Quand le rang augmente indéfiniment, 1/n tend vers 0. La limite L vaut donc 2.
Comme 2 est supérieur au seuil 1, la règle de Raabe-Duhamel établit que la série converge. Le contrôle se refait avec n = 10 : la quantité testée vaut 2 + 1/10 = 2,1, toujours au-dessus de 1 et déjà proche de 2. La figure matérialise cette approche de la limite sans remplacer le calcul.
En pratique
Pour situer Duhamel dans l'histoire des mathématiques, on relie ses travaux de 1828 sur la chaleur à l'emploi des équations aux dérivées partielles. Ce repère montre comment l'analyse sert à décrire un phénomène physique.
Face à une série à termes positifs, on essaie souvent d'abord le critère d'Alembert. Si le quotient de deux termes successifs tend vers 1, ce premier critère ne tranche pas ; la règle de Raabe-Duhamel examine alors plus finement la vitesse d'approche de ce quotient vers 1.
Pour employer la règle, on vérifie la positivité des termes, on forme la quantité associée et on la compare au seuil 1. Un résultat strictement supérieur ou inférieur au seuil donne un verdict ; l'égalité au seuil impose de choisir un autre critère.
À ne pas confondre
Règle de Raabe-Duhamel et critère d'Alembert. Les deux étudient des termes successifs d'une série positive, mais ils ne testent pas la même limite. Si le quotient pertinent pour d'Alembert tend vers 1, son critère est indécis ; Raabe-Duhamel peut encore conclure en mesurant la vitesse de cette approche.
La personne et la règle qui porte son nom. Jean-Marie-Constant Duhamel est le mathématicien et physicien du XIXe siècle. La règle de Raabe-Duhamel est seulement l'un des résultats associés à son nom : son œuvre mentionnée ici comprend aussi la chaleur, l'acoustique et l'enseignement de l'analyse.
Limites et pièges
Termes non positifs. La version présentée concerne les séries dont les termes sont strictement positifs à partir d'un certain rang. Si les signes alternent ou si un dénominateur s'annule, ses hypothèses ne sont pas réunies ; il faut employer un critère adapté à cette autre situation.
Valeur charnière. Lorsque la limite L vaut exactement 1, la règle ne décide rien. La série harmonique, dont le terme de rang n vaut 1/n, atteint ce seuil et diverge : le seuil ne signifie donc pas convergence.
Limite absente. Si la quantité testée oscille sans limite, la formulation par une limite unique ne s'applique pas. Observer quelques rangs ou une courbe ne suffit alors pas ; une autre forme du critère, assortie de ses propres hypothèses, ou un autre test est nécessaire.
Pour aller plus loin
La fiche règle de Raabe-Duhamel approfondit le critère de convergence associé au nom de Duhamel et précise son emploi pour les séries à termes positifs.
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