règle de Kummer

Imaginez une file de nombres tous positifs dont vous additionnez les termes. Pour savoir si la somme finit par se stabiliser, la règle de Kummer compare chaque terme au suivant, après avoir choisi des poids positifs adaptés.

Cette comparaison produit un nouveau nombre à chaque rang. S'il se rapproche d'une valeur strictement positive, la série converge. Un résultat négatif peut prouver la divergence, mais seulement avec une condition supplémentaire sur les poids. Une limite nulle ne tranche pas.

La règle, ou critère, de Kummer s'applique à une série dont le terme de rang n, noté u_n, est strictement positif. On choisit aussi une suite auxiliaire de nombres strictement positifs, notés a_n. À partir de ces deux suites, on forme le nombre K_n :

Si la suite K_n admet une limite réelle L strictement positive, alors la série de terme général u_n converge. Si L est strictement négative, la divergence est garantie à condition que la série de terme général 1/a_n diverge. Lorsque L vaut 0, ce test ne décide rien : la série étudiée peut converger ou diverger. Le choix de la suite auxiliaire fait la souplesse du critère et permet de retrouver plusieurs tests classiques.

Soient une suite de termes u_n strictement positifs et une suite auxiliaire a_n strictement positive. On suppose que la suite suivante converge vers un réel L :

Si L > 0, alors la série ∑u_n converge. Si L < 0 et si la série ∑1/a_n diverge, alors ∑u_n diverge. Si L = 0, le critère est muet.

Les termes u_n doivent être strictement positifs à partir du rang où le test est appliqué, car le quotient u_n/u_n+1 doit exister. Les poids a_n doivent eux aussi être strictement positifs. Enfin, la forme énoncée ici demande que K_n ait une limite réelle.

Pour conclure à la divergence quand L < 0, il faut en plus que ∑1/a_n diverge. Sans cette condition, le verdict peut être faux. Par exemple, avec u_n = 2⁻ⁿ et a_n = 2ⁿ − 1, on obtient K_n = −1, alors que ∑2⁻ⁿ converge et que ∑1/(2ⁿ − 1) converge. Dans ce contre-cas, il faut employer un autre choix de poids ou un autre critère.

Étudions la série dont le terme de rang n est u_n = 1/n², pour n ≥ 1. Choisissons les poids a_n = n. Toutes ces valeurs sont strictement positives, et la série ∑1/a_n est la série harmonique, qui diverge.

1. Le quotient de deux termes consécutifs vaut $\frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{(n+1{)}^2}{n^2}\backslash frac\{u\_n\}\{u\_\{n+1\}\}=\backslash frac\{(n+1)^2\}\{n^2\}$.
2. On le multiplie par le poids n.
3. On retranche le poids suivant n + 1.
4. La simplification donne :

Ainsi K_n tend vers 1, qui est strictement positif. La règle de Kummer prouve donc que ∑1/n² converge. Le contrôle est direct : pour n = 1, 2 et 4, la formule donne respectivement 2, 3/2 et 5/4, des valeurs qui décroissent bien vers 1. Le graphique matérialise cette approche sans remplacer le calcul.

Quand le quotient u_n/u_n+1 tend déjà vers une valeur différente de 1, le choix a_n = 1 ramène Kummer au critère de d'Alembert. Ce choix est le plus court lorsque le quotient suffit à trancher.

Quand ce quotient tend vers 1, des poids croissants comme a_n = n peuvent révéler un écart trop fin pour d'Alembert. On calcule alors K_n, puis sa limite, comme pour la série ∑1/n².

Si le quotient est irrégulier ou si aucun choix simple de poids ne donne une limite exploitable, un critère de comparaison, le critère intégral ou le critère de Cauchy peut être préférable. Le signal observable est ici l'absence d'une limite simple pour K_n.

Critère de d'Alembert. Il examine directement la limite du quotient u_n+1/u_n. Kummer introduit en plus les poids a_n. Si le quotient tend vers 1 mais que le choix a_n = n donne une limite positive, Kummer tranche là où d'Alembert ne conclut pas.

Critère de Cauchy. Il observe la racine n-ième de u_n, tandis que Kummer compare deux termes consécutifs à l'aide d'une suite auxiliaire. Pour une suite dont les quotients oscillent mais dont les racines ont une limite exploitable, le critère de Cauchy est le test direct.

Limite nulle. Le seuil L = 0 ne donne aucun verdict. Avec a_n = n, la série harmonique ∑1/n donne K_n = 0 et diverge ; la série ∑1/[n(log n)²], prise à partir de n = 2, converge mais donne aussi une limite nulle. Il faut alors changer de poids ou de critère.

Condition oubliée dans le cas négatif. Le seul constat L < 0 ne suffit pas. Le symptôme est une suite de poids qui croît si vite que ∑1/a_n converge. Avant d'annoncer la divergence, il faut donc contrôler explicitement la divergence de cette série auxiliaire.

Limite inexistante. Si K_n oscille sans converger, la version énoncée du critère ne s'applique pas, même si de nombreux termes sont positifs. Il faut établir des bornes uniformes adaptées ou choisir un autre test, sans remplacer une limite absente par une impression graphique.

Termes nuls ou de signes variables. Un terme nul rend le quotient problématique, et des changements de signe sortent du domaine des séries positives. On étudie alors éventuellement la convergence absolue, ou l'on utilise un critère conçu pour les séries alternées.

La fiche convergence d'une série numérique replace le verdict de Kummer dans la définition générale des sommes partielles convergentes.

Le critère de d'Alembert montre le cas où le quotient des termes consécutifs suffit, sans poids auxiliaires variables.

Le critère de Cauchy propose une autre lecture de la décroissance, fondée sur la racine n-ième du terme général.