série de Gregory

Prenez le nombre 1, retirez-en un tiers, ajoutez un cinquième, puis retirez un septième. Les fractions deviennent de plus en plus petites et leurs signes alternent. La somme passe ainsi tantôt sous π/4, tantôt au-dessus.

Cette addition sans fin est le cas x = 1 de la série de Gregory. Avec une valeur de x comprise entre −1 et 1, le même motif reconstruit arctan(x) à l'aide de puissances impaires de x.

La série de Gregory est le développement en série entière de la fonction arctangente. Pour un nombre réel x tel que |x| ≤ 1, elle s'écrit : $arctan(x)={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}arctan(x)=\backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}(-1)^n\backslash frac\{x^\{2n+1\}\}\{2n+1\}$. L'indice entier n part de 0 ; il détermine à la fois le signe, la puissance impaire 2n + 1 et le dénominateur impair 2n + 1.

Les premiers termes sont x − x³/3 + x⁵/5 − x⁷/7. À chaque rang, le signe change et l'exposant comme le dénominateur augmentent de 2. Une somme partielle s'obtient en s'arrêtant après un nombre fini de termes ; elle fournit alors une approximation de arctan(x).

Au point x = 1, l'arctangente vaut π/4. La série devient donc $\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}=1-\backslash frac13+\backslash frac15-\backslash frac17+\backslash frac19-\backslash cdots$, appelée formule de Leibniz-Gregory. Cette spécialisation a servi historiquement au calcul de π, mais sa convergence est très lente.

La série associe quatre éléments à chaque indice entier n ≥ 0. La variable x fixe le point où l'arctangente est calculée. L'exposant impair 2n + 1 produit successivement x, x³, x⁵ et ainsi de suite. Le même nombre impair forme le dénominateur, tandis que le facteur (−1)ⁿ alterne les signes plus et moins.

Ces éléments ne sont pas indépendants : un même indice commande simultanément le signe, la puissance et le dénominateur. Le domaine |x| ≤ 1 encadre l'emploi de ce développement. En additionnant les termes jusqu'à un indice choisi, on construit une somme partielle ; la suite de ces sommes tend vers arctan(x), très lentement lorsque x = 1.

Approchons π avec cinq termes de la formule de Leibniz-Gregory. Les données sont x = 1, les cinq dénominateurs 1, 3, 5, 7 et 9, et l'égalité π = 4 arctan(1).

1. Écrivons la somme des cinq premiers termes, notée S₅ : $S_5=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}S\_5=1-\backslash frac13+\backslash frac15-\backslash frac17+\backslash frac19$.

2. Prenons 315 comme dénominateur commun : $S_5=\frac{315-105+63-45+35}{315}=\frac{263}{315}S\_5=\backslash frac\{315-105+63-45+35\}\{315\}=\backslash frac\{263\}\{315\}$.

3. Multiplions par 4 : $4S_5=\frac{1052}{315}\approx \mathrm{3,33968}4S\_5=\backslash frac\{1052\}\{315\}\backslash approx3\{,\}33968$. Cette valeur dépasse π, qui vaut environ 3,14159.

4. Contrôlons le mouvement des approximations : avec quatre termes, 4S₄ = 304/105 ≈ 2,89524, en dessous de π. Le cinquième terme fait repasser au-dessus. La figure montre cette alternance et l'amélioration lente, conforme à la propriété annoncée dans la définition source.

Pour approcher arctan(x) lorsque |x| ≤ 1, calculez successivement les puissances impaires de x, divisez-les par l'entier impair correspondant et alternez les signes. Une somme partielle donne une approximation que l'on affine en ajoutant des termes.

Pour retrouver la formule historique de π, choisissez x = 1 puis multipliez la somme par 4. Les approximations d'ordre pair sont sous π et celles d'ordre impair au-dessus ; cette oscillation fournit un contrôle visuel du calcul.

Pour un calcul numérique exigeant près de x = 1, la lenteur devient le critère décisif : ajouter quelques termes améliore peu le résultat. La série reste instructive pour suivre le mécanisme, mais une méthode convergeant plus vite est alors préférable.

Série de Gregory et fonction arctangente. L'arctangente est la fonction dont on cherche la valeur ; la série est une représentation de cette fonction sur |x| ≤ 1. Pour x = 1/2, arctan(1/2) est le résultat visé, tandis que 1/2 − (1/2)³/3 + ⋯ est le procédé de représentation.

Série infinie et somme partielle. La série comporte une infinité de termes ; une somme partielle s'arrête à un indice donné. Ainsi, 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 vaut 263/315, et non π/4 : seule la limite des sommes partielles donne π/4.

Domaine de validité. La formule donnée ici vaut pour |x| ≤ 1. Si |x| > 1, les puissances de x ne tendent pas vers zéro après division par les entiers impairs : poursuivre cette série ne fournit donc pas arctan(x).

Égalité et approximation. Une somme comportant un nombre fini de termes n'est pas égale à π/4. Le signe « = » relie π/4 à la série infinie ; pour cinq termes, il faut écrire 4S₅ ≈ 3,33968 et non π = 3,33968.

Lenteur au point x = 1. Les termes 1/(2n + 1) diminuent lentement. Après cinq termes, l'approximation de π dépasse encore sa valeur d'environ 0,19809. Il faut ajouter beaucoup de termes ou préférer un procédé plus rapide lorsque plusieurs décimales sont nécessaires.

Alternance des signes. Oublier un signe change le mécanisme. Pour cinq termes, le motif exact est +, −, +, −, + ; deux signes plus consécutifs indiquent qu'il faut reprendre le facteur (−1)ⁿ à partir de n = 0.

série entière — Situer les puissances de x et leurs coefficients dans le cadre général auquel appartient la série de Gregory.

Rayon de convergence — Examiner comment le domaine de convergence d'une série entière s'organise autour de son centre.

convergence d'une série numérique — Approfondir le passage des sommes partielles à une limite, décisif dans l'égalité avec π/4.