AnalyseObjet mathématique · Glossaire
série alternée
Une série numérique est dite alternée lorsque son terme de rang i s'écrit (−1)ⁱ aᵢ, où les aᵢ sont positifs ou nuls. La série est alors Σᵢ₌₀∞ (−1)ⁱ aᵢ, tandis que Sₙ = Σᵢ₌₀ⁿ (−1)ⁱ aᵢ désigne sa somme partielle de rang n ; hors termes nuls, le signe change selon la parité du rang. Un critère classique de convergence pour ce type de série est le critère de Leibniz : si la suite (aᵢ) est décroissante et tend vers zéro, alors la série alternée converge.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier l'alternance des signes dans une série numérique.
- Vérifier les trois hypothèses du critère de Leibniz.
- Recalculer les cinq premières sommes de l'exemple harmonique alterné.
- Distinguer l'échec du critère d'une preuve de divergence.
En clair
Imaginez une somme dont le premier terme ajoute 1, le suivant retire 1/2, puis le troisième ajoute 1/3 et le quatrième retire 1/4. Chaque nouveau terme fait donc repartir la somme dans l'autre sens. Lorsque ces corrections deviennent de plus en plus petites, les sommes partielles oscillent tout en se resserrant.
Une série alternée organise précisément cette succession de contributions positives et négatives. Le critère de Leibniz donne alors trois contrôles simples sur leur taille pour conclure à la convergence.
Définition
Une série alternée est une série numérique dont le terme de rang i associe le facteur (−1)i à une amplitude positive ai. Sa somme partielle de rang n, notée Sn, s'écrit : . Avec cette convention, les termes de rang pair sont positifs et ceux de rang impair sont négatifs. Commencer par un terme négatif revient à multiplier toute la série par −1.
Le critère de Leibniz s'applique lorsque les nombres ai sont positifs, décroissent et tendent vers zéro. Sous ces trois hypothèses, la suite des sommes partielles Sn converge, donc la série converge. L'alternance des signes ne suffit pas à elle seule : elle décrit la structure de la série, tandis que les trois conditions portent sur la taille de ses termes.
De quoi c'est fait
La série réunit quatre éléments. Les nombres positifs ai donnent la taille des termes. Le facteur (−1)i fixe leur signe selon la parité du rang i. La borne n indique jusqu'où additionner. La somme partielle Sn est le résultat obtenu après ces n + 1 termes.
Le signe dépend donc du rang, tandis que l'amplitude dépend de ai. En faisant varier n, on construit la suite des sommes partielles dont on étudie la convergence. Pour appliquer Leibniz, il faut ensuite relier deux termes consécutifs par ai+1 ≤ ai, puis vérifier que les amplitudes tendent vers zéro. Ces données suffisent à former chaque somme partielle et à décider si ce critère conclut.
Un exemple, pas à pas
Considérons les cinq premiers termes obtenus avec ai = 1/(i + 1), pour les rangs i allant de 0 à 4. Les données sont donc 1, 1/2, 1/3, 1/4 et 1/5. Le signe est positif aux rangs pairs et négatif aux rangs impairs.
1. On écrit les termes : 1, −1/2, 1/3, −1/4, 1/5.
2. On additionne 1 − 1/2 : S1 = 1/2.
3. On ajoute 1/3 : S2 = 5/6.
4. On retire 1/4 : S3 = 7/12.
5. On ajoute 1/5 : S4 = 47/60.
2. On additionne 1 − 1/2 : S1 = 1/2.
3. On ajoute 1/3 : S2 = 5/6.
4. On retire 1/4 : S3 = 7/12.
5. On ajoute 1/5 : S4 = 47/60.
Le contrôle est refaisable au même dénominateur : . Les amplitudes 1/(i + 1) sont positives, décroissantes et tendent vers zéro ; le critère de Leibniz assure donc la convergence de la série prolongée indéfiniment. La figure rend visible l'alternance et la diminution des cinq contributions calculées.
En pratique
Devant une somme à signes alternés, on isole d'abord l'amplitude positive ai. Si ces amplitudes décroissent vers zéro, le critère de Leibniz est un test direct de convergence.
Si les amplitudes ne tendent pas vers zéro, le test s'arrête immédiatement : la condition nécessaire indiquée par Leibniz manque. Si elles tendent vers zéro sans être décroissantes, ce critère ne tranche pas et il faut choisir un autre outil adapté à la série.
Pour contrôler un calcul, on écrit quelques sommes partielles. Dans l'exemple 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5, chaque addition augmente la somme, chaque soustraction la diminue et les corrections deviennent plus petites.
À ne pas confondre
Série alternée et série à termes positifs. Dans une série alternée, deux termes non nuls consécutifs ont des signes opposés ; dans une série à termes positifs, ils restent positifs. Ainsi, la somme finie 1 − 1/2 + 1/3 présente les trois premiers termes d'une série alternée, tandis que 1 + 1/2 + 1/3 présente ceux d'une série à termes positifs.
Alternance et convergence. L'alternance décrit les signes, pas le comportement final des sommes partielles. Par exemple, les termes 1, −1, 1, −1 alternent, mais leur amplitude ne tend pas vers zéro ; le critère de Leibniz ne donne donc aucune convergence.
Limites et pièges
Des coefficients réels quelconques ne garantissent pas l'alternance. Toute suite peut formellement s'écrire avec un facteur (−1)i si les coefficients ai sont autorisés à changer eux-mêmes de signe. Pour que la formule traduise l'alternance annoncée, on prend des amplitudes ai positives ou nulles et on examine séparément les termes nuls.
Une décroissance qui s'arrête ne suffit pas. La suite ai = 1 est positive et non croissante, mais elle ne tend pas vers zéro. Les sommes partielles de 1 − 1 + 1 − 1 oscillent entre 1 et 0 ; il faut donc vérifier explicitement la limite nulle.
Leibniz est un critère suffisant, pas une définition. Une série reste alternée même si ses amplitudes ne décroissent pas. Dans ce cas, l'échec d'une hypothèse signifie seulement que ce critère ne conclut pas ; il ne prouve pas à lui seul que la série diverge.
Pour aller plus loin
Convergence d'une série numérique — Situer le verdict de Leibniz dans la définition générale fondée sur les sommes partielles.
Décroissante — Préciser la condition qui compare deux amplitudes successives dans le critère de Leibniz.
Série harmonique — Comparer la somme positive à l'exemple alterné construit avec les mêmes inverses d'entiers.
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