formule de Ramanujan

Imaginez que vous vouliez écrire π avec beaucoup de décimales. La formule de Ramanujan additionne une suite de termes de plus en plus petits, puis inverse le résultat. Avec le seul premier terme, elle donne déjà 3,141592730…. En ajoutant le suivant, on obtient 3,141592653589793878… : le calcul se rapproche donc de π à une vitesse spectaculaire.

Cette efficacité vient de la convergence très rapide de la série : chaque nouveau terme apporte environ huit décimales correctes.

La formule de Ramanujan est une identité, établie en 1914 par le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan, qui exprime l'inverse de π par une série infinie. L'indice entier n commence à 0. Le symbole ! désigne la factorielle : par exemple, (4n)! multiplie les entiers de 1 à 4n, avec 0! = 1.

Le produit du facteur 2√2/9801 par la somme infinie fournit exactement 1/π. En calcul numérique, on ne garde qu'un nombre fini de termes : la valeur obtenue est alors une approximation. La convergence est exceptionnellement rapide, puisque chaque terme supplémentaire apporte environ huit nouvelles décimales correctes. La formule s'applique ainsi au calcul de π à haute précision, à condition d'effectuer les opérations avec une précision suffisante.

Pour chaque entier n supérieur ou égal à 0, on forme un terme avec les factorielles (4n)! et (n!)⁴, le facteur 1103 + 26390n et la puissance 396⁴ⁿ. Alors :

Une somme partielle donne une approximation de 1/π ; son inverse donne une approximation de π. Chaque terme ajouté fournit environ huit décimales correctes supplémentaires.

La formule s'emploie pour calculer numériquement π. L'indice n doit parcourir les entiers 0, 1, 2, etc., car les factorielles et la somme sont définies ici sur ces valeurs. Il faut aussi calculer la racine carrée, les puissances, les factorielles et la somme avec davantage de chiffres que le résultat souhaité. Enfin, l'inversion intervient seulement après la multiplication de la somme partielle par 2√2/9801.

Avec une arithmétique limitée à quelques décimales, ajouter un terme peut ne plus modifier le nombre affiché : l'arrondi bloque alors le gain de précision. Il faut employer une arithmétique multiprécision, ou demander moins de décimales.

On veut approcher π avec les trois premiers indices. Les données sont n = 0, 1 et 2, ainsi que les constantes 1103, 26390, 396 et 9801 de la formule. Tous les calculs conservent au moins 25 chiffres.

1. Pour n = 0, le terme de la somme vaut 1103. Après multiplication par 2√2/9801 puis inversion, on obtient π ≈ 3,1415927300133056603.

2. Pour n = 1, le terme ajouté vaut environ 0,0000268319743489253094. La somme partielle donne alors π ≈ 3,1415926535897938780.

3. Pour n = 2, le nouveau terme vaut environ 0,0000000000002245385020. Après son ajout, on trouve π ≈ 3,1415926535897932384626491.

4. Le contrôle consiste à comparer les écritures successives : la première se distingue au septième chiffre après la virgule, tandis que la suivante conserve encore environ huit chiffres supplémentaires.

La figure aligne ces trois approximations afin de rendre visible l'allongement rapide de leur préfixe commun avec π.

Pour obtenir beaucoup de décimales de π, on additionne les termes jusqu'à atteindre la précision visée. La formule de Ramanujan est adaptée lorsque l'on dispose d'une arithmétique multiprécision et que chaque terme doit apporter rapidement de nouveaux chiffres.

Pour quelques décimales seulement, une valeur connue de π est plus directe : évaluer des factorielles et de grandes puissances serait inutile. Le nombre de chiffres recherchés est le critère de choix observable.

Dans un programme, on surveille l'effet du terme ajouté. S'il ne change plus la somme au niveau de précision demandé, le calcul peut s'arrêter ; s'il disparaît trop tôt par arrondi, il faut augmenter la précision interne.

La formule de Ramanujan n'est pas une simple écriture décimale de π. Le critère est la présence de la série, des factorielles et de la somme sur tous les entiers n ≥ 0. Ainsi, 3,1415927 est une valeur approchée obtenue ou donnée, mais ce n'est pas la formule qui la produit.

Elle ne se confond pas non plus avec une méthode probabiliste de calcul de π. Ici, les termes sont entièrement déterminés par n ; deux calculs menés avec la même précision donnent la même somme partielle.

L'égalité porte sur la somme infinie. Après le seul indice n = 0, le calcul donne 3,141592730…, et non π exactement : le symptôme est l'écart visible au septième chiffre après la virgule. Il faut annoncer une approximation ou ajouter des termes.

En précision machine ordinaire, la convergence mathématique peut devenir invisible. Si le terme suivant est plus petit que ce que le format numérique peut conserver, la somme ne change plus. Il faut augmenter la précision de calcul avant d'augmenter le nombre de termes.

Enfin, l'expression calcule d'abord 1/π. Oublier l'inversion finale produit environ 0,318309886… : cette valeur signale que le calcul s'est arrêté une étape trop tôt. Il faut prendre l'inverse de la quantité complète.

Pi (calcul par la méthode de Monte-Carlo) présente une autre voie de calcul et permet de comparer une approche probabiliste à la série déterministe de Ramanujan.

Mnémotechnique pour le nombre π propose un prolongement consacré à la mémorisation des décimales plutôt qu'à leur calcul.