algorithme de Chudnovsky

Écrire π avec toujours plus de chiffres après la virgule demande une méthode capable d'avancer vite. L'algorithme de Chudnovsky utilise une série, c'est-à-dire une addition de termes successifs. Il en tire des approximations de π de plus en plus précises.

Cette rapidité explique son rôle dans les records de calcul : les frères Chudnovsky ont atteint 2 milliards de décimales au début des années 1990, avant des records de 2 700 milliards en 2009 et d'environ 100 000 milliards vers 2022.

L'algorithme de Chudnovsky est une méthode publiée en 1988 par David et Gregory Chudnovsky pour calculer les décimales de π. Son élément central est une série à convergence très rapide, dérivée de formules de Ramanujan relatives à π. La convergence décrit ici le rapprochement des résultats successifs vers la valeur visée.

La méthode a servi à des calculs de très grande taille et s'inscrit dans une histoire de records allant de l'ordinateur construit par les deux frères au début des années 1990 aux calculs massifs du XXIe siècle. Les valeurs annoncées dans ces records désignent des nombres de décimales calculées, pas des valeurs différentes de π.

David et Gregory Chudnovsky, nés à Kiev respectivement en 1947 et 1952, ont émigré aux États-Unis en 1977. Ils ont été nommés ensemble professeurs à l'Université polytechnique de Brooklyn en 1997 et sont professeurs émérites à la Tandon School of Engineering de l'Université de New York.

Pour obtenir des décimales de π par la méthode de Chudnovsky, on évalue les termes successifs de sa série, dérivée des formules de Ramanujan, puis on les combine dans l'ordre prévu. À chaque étape, la méthode en déduit une approximation de π. On poursuit le calcul jusqu'à atteindre la quantité de décimales recherchée, avec un contrôle de la précision obtenue. Le trait distinctif de la méthode est la convergence très rapide de cette série.

La méthode s'applique au calcul numérique des décimales de π. Il faut disposer de la série de Chudnovsky, effectuer ses opérations avec une précision suffisante et fixer le nombre de décimales visé. Le résultat obtenu est une approximation de π dont on conserve le nombre de chiffres contrôlés.

Un simple affichage arrondi de π sur une calculatrice n'est pas un calcul record : il ne produit qu'un petit nombre de décimales déjà disponibles. Inversement, annoncer un grand nombre de chiffres sans contrôle ne suffit pas. Dans ce cas, il faut vérifier la précision avant d'attribuer au résultat le nombre de décimales revendiqué.

Le fonctionnement est présenté ici qualitativement : la série additionne des termes successifs pour produire des approximations de plus en plus précises, mais cet exemple ne reproduit pas l'évaluation de ses termes. Il compare les trois jalons donnés dans la source avec une même unité, le milliard de décimales : 2 milliards au début des années 1990, 2 700 milliards en 2009 et environ 100 000 milliards vers 2022.

1. Le premier jalon vaut 2 milliards de décimales.

2. Le deuxième jalon est 2 700 ÷ 2 = 1 350 fois le premier.

3. Le troisième jalon est environ 100 000 ÷ 2 700 ≈ 37,04 fois le deuxième.

4. Du premier au troisième jalon, le facteur est d'environ 100 000 ÷ 2 = 50 000. Le contrôle se refait en multipliant 2 milliards par 50 000 : on retrouve 100 000 milliards. La figure réunit ces trois quantités sans transformer « vers 2022 » en date exacte.

Pour produire énormément de décimales de π, l'algorithme de Chudnovsky fournit une méthode adaptée par sa convergence très rapide. Pour quelques décimales usuelles, une valeur numérique déjà arrondie de π suffit et évite un calcul disproportionné.

Pour comparer des records, on ramène tous les résultats à la même unité. Écrire 2, 2 700 et 100 000 en milliards rend les facteurs de progression calculables sans confondre millions, milliards et milliers de milliards.

Pour raconter l'histoire de la méthode, on associe chaque date à son fait précis : publication en 1988, ordinateur des frères Chudnovsky au début des années 1990, puis jalons de 2009 et vers 2022.

Algorithme de Chudnovsky et formules de Ramanujan. Le premier est la méthode publiée par David et Gregory Chudnovsky en 1988 ; sa série dérive des formules de Ramanujan. L'attribution et la relation de dérivation permettent de les distinguer.

Calcul et mémorisation des décimales de π. Un calcul produit des chiffres par une méthode numérique ; une performance de mémoire récite des chiffres déjà connus. Le nombre de décimales récitées ne mesure donc pas la puissance de l'algorithme.

Une approximation n'est pas π tout entier. Même 100 000 milliards de décimales constituent une écriture finie. Il faut annoncer le nombre de décimales calculées et la précision contrôlée, sans présenter cette écriture comme une valeur décimale complète de π.

« Vers 2022 » reste une datation approximative. La source associe environ 100 000 milliards de décimales à cette période. Il ne faut ni transformer cette indication en jour précis, ni en déduire que ce total constitue encore le record actuel.

Les trois jalons ne décrivent pas la vitesse d'une même machine. Ils donnent des totaux obtenus à des époques différentes. Leur rapport mesure la croissance du nombre de décimales annoncé, pas un facteur d'accélération matériel.

Pi (calcul par la méthode de Monte-Carlo) présente une autre manière d'aborder le calcul de π et aide à situer la méthode de Chudnovsky.

Ramanujan Srinivasa replace le mathématicien dont les formules sont à l'origine de la série utilisée par les frères Chudnovsky.