fonction thêta

Imaginez une rangée infinie d’entiers, de part et d’autre de zéro. À chaque entier, la fonction thêta associe une contribution complexe, puis additionne toutes ces contributions. Lorsque le paramètre t possède une partie imaginaire positive, les termes correspondant aux grands entiers deviennent rapidement minuscules.

Pour la première variable z égale à 0 et le paramètre t égal à l’unité imaginaire i, le terme central vaut 1. Les deux termes voisins valent chacun environ 0,0432, et les suivants sont déjà presque nuls. Cette superposition produit un motif qui se répète quand z augmente de 1.

La fonction thêta de Jacobi est une fonction de deux variables complexes. La première variable est notée z. La seconde est notée t et doit avoir une partie imaginaire strictement positive. Le symbole i désigne l’unité imaginaire. Pour chaque entier relatif n, on forme une exponentielle complexe, puis on somme ces termes sur tous les entiers.

La condition sur t provoque une décroissance de type gaussien quand la valeur absolue de n augmente ; elle rend la série convergente pour tout z complexe. Remplacer z par z + 1 multiplie chaque terme par exp(2πin), qui vaut 1 pour un entier n : la fonction est donc périodique de période 1 en z. Elle possède aussi des lois de transformation sous l’action du groupe modulaire. Le nom « fonction thêta » recouvre enfin plusieurs constructions : la fonction de Jacobi définie par cette série, les fonctions de Riemann liées aux surfaces de Riemann et à la fonction zêta, et celle de Ramanujan issue des partitions et des séries q.

La série réunit quatre éléments nécessaires, avec i pour unité imaginaire. L’indice n parcourt tous les entiers relatifs. La variable z règle la phase linéaire 2πinz. Le paramètre t règle le terme quadratique πin²t et doit garder une partie imaginaire positive. Enfin, l’exponentielle transforme leur somme en la contribution associée à n.

Le carré n² lie les termes d’indices n et −n : lorsque z = 0, ils sont égaux. La partie imaginaire de t commande leur décroissance, tandis que z peut modifier leur phase avant l’addition. Ces données suffisent à calculer une approximation en tronquant la somme à des indices dont les termes restants sont négligeables. Pour z = 0 et t = i, cette organisation se lit directement dans les cinq contributions d’indices −2 à 2.

On évalue la fonction de Jacobi au point z = 0 avec le paramètre t = i, où i est l’unité imaginaire. Les données sont les indices entiers, la valeur z = 0 et la partie imaginaire de t égale à 1. Le terme d’indice n devient exp(−πn²).

1. Pour n = 0, la contribution est exp(0) = 1.
2. Pour n = 1 et n = −1, chaque contribution vaut exp(−π) ≈ 0,0432139.
3. Pour n = 2 et n = −2, chacune vaut exp(−4π) ≈ 0,00000348734.

4. La somme tronquée entre −2 et 2 vaut donc $1+2e^{-\pi }+2e^{-4\pi }\approx \mathrm{1,08643481}1+2e^\{-\backslash pi\}+2e^\{-4\backslash pi\}\backslash approx1\{,\}08643481$.
5. La paire suivante ajoute seulement 2 exp(−9π), soit environ 1,05 × 10⁻¹².

On obtient θ(0, i) ≈ 1,08643481, arrondi à huit décimales. Le contrôle consiste à ajouter les termes d’indices 3 et −3 : ils ne changent aucune des huit décimales affichées.

Pour une évaluation numérique, on additionne des paires de termes d’indices opposés jusqu’à ce que leur apport soit inférieur à la précision recherchée. Dans l’exemple θ(0, i), les indices −2 à 2 suffisent déjà pour huit décimales.

Dans l’étude des fonctions elliptiques, les fonctions thêta servent lorsque leurs lois de périodicité et de transformation rendent la structure plus lisible. Une fonction elliptique devient l’alternative à examiner lorsque l’objet recherché doit être directement doublement périodique.

Pour étudier les surfaces de Riemann, on se tourne vers les fonctions thêta de Riemann mentionnées dans ce contexte. La formule et les variables annoncées permettent alors de vérifier qu’il ne s’agit pas automatiquement de la série de Jacobi donnée ici.

Dans les problèmes de partitions et de séries q, la fonction thêta de Ramanujan constitue la variante pertinente. Le contexte combinatoire, plutôt que la seule présence d’une série exponentielle, motive ce choix.

Fonction elliptique. Une fonction elliptique est doublement périodique. La fonction thêta de Jacobi donnée ici est périodique de période 1 en z, mais ses autres transformations relèvent de lois modulaires : constater seulement la période 1 ne suffit donc pas à la classer comme fonction elliptique.

Fonction zêta de Riemann. La fonction zêta est une notion distincte. Le fait qu’une fonction thêta de Riemann intervienne dans son étude exprime une relation entre objets, pas une identité : leurs noms, variables et définitions ne sont pas interchangeables.

Série q. Une fonction thêta peut s’écrire dans le langage des séries q, mais toute série q n’est pas une fonction thêta. Pour trancher, il faut retrouver la structure quadratique de l’indice et les propriétés de transformation propres à la fonction considérée.

Partie imaginaire nulle ou négative. La définition donnée exige que la partie imaginaire de t soit strictement positive. Si t est réel, le facteur quadratique ne fournit plus la décroissance utilisée pour sommer sur tous les entiers ; il ne faut pas appliquer directement cette série comme dans le domaine autorisé.

Troncature trop courte. Une somme finie n’est qu’une approximation de la série infinie. Le symptôme est un résultat qui change encore à la précision affichée lorsqu’on ajoute la paire d’indices suivante. Il faut poursuivre jusqu’à ce que cet ajout devienne négligeable au seuil choisi.

Symétrie supposée à tort. Pour z = 0, les contributions des indices n et −n sont égales. Pour un z quelconque, les termes linéaires 2πinz ont des signes opposés ; doubler automatiquement le terme positif peut alors donner une somme fausse.

Nom sans variante. « Fonction thêta » ne suffit pas toujours à fixer une définition. Jacobi, Riemann et Ramanujan correspondent à des constructions différentes ; il faut identifier les variables, le contexte et la formule avant tout calcul.

La fonction elliptique précise le cadre auquel les fonctions thêta sont étroitement liées et éclaire le rôle de la double périodicité.

La fiche Doublement périodique (fonction) fournit le critère qui distingue une fonction elliptique de la seule période 1 vérifiée ici.

La Surface de Riemann donne le contexte géométrique dans lequel les fonctions thêta de Riemann deviennent des outils fondamentaux.

La partition d'un entier présente l’objet combinatoire relié aux fonctions thêta de Ramanujan et aux séries q.