fonction de Tschakaloff

Imaginez une somme dont les termes deviennent très vite plus petits : on prend une puissance de z, puis on la divise par des puissances de q de plus en plus grandes. Pour q = 2, les premiers coefficients sont 1, 1/2, 1/8 et 1/64. La fonction de Tschakaloff rassemble cette infinité de contributions en une seule fonction.

Le point remarquable est que la fonction se retrouve lorsqu'on remplace z par z/q. Cette autosimilarité donne une équation fonctionnelle et explique son intérêt pour l'étude des séries en q et de certaines propriétés arithmétiques.

Pour un entier relatif q dont la valeur absolue est strictement supérieure à 1, et pour un nombre complexe z, la fonction de Tschakaloff est la série entière dont le terme d'indice n est zⁿ divisé par q^n(n+1)/2. L'indice n parcourt les entiers naturels, en commençant par 0 :

La croissance quadratique de l'exposant n(n + 1)/2 au dénominateur rend les termes suffisamment petits pour que la série converge pour tout z complexe. La fonction obtenue est donc entière, c'est-à-dire holomorphe sur tout le plan complexe. En développant la série et en décalant l'indice, on obtient l'identité correcte $T_q(z)=1+\frac{z}{q}{T}_q(z\mathrm{/}q)T\_q(z)=1+\backslash frac\{z\}\{q\}T\_q(z/q)$. Les expressions qui remplacent z/q par z ne correspondent pas à cette définition, sauf changement explicite de convention.

Cette fonction appartient à l'univers des q-séries, où q règle l'échelle entre les coefficients successifs. Elle intervient aussi dans l'étude de questions de transcendance et des propriétés arithmétiques de valeurs de fonctions entières.

La série repose sur cinq éléments liés. Le paramètre q est un entier relatif, et la condition |q| > 1 garantit la croissance de la valeur absolue du dénominateur et, à terme, la décroissance des modules des termes. La variable z est complexe et peut prendre toute valeur du plan. L'indice n parcourt les entiers naturels. La puissance zⁿ fournit la partie variable du terme, tandis que l'exposant n(n + 1)/2 commande la puissance de q au dénominateur.

Le choix de q détermine donc tous les coefficients, et la valeur de z détermine les puissances additionnées. Le terme n = 0 vaut 1 ; les termes suivants construisent la fonction entière. Ces données suffisent à calculer autant de termes que nécessaire et à vérifier l'équation fonctionnelle par un décalage d'indice. Elles définissent l'objet : ni un tracé particulier ni une couleur de représentation n'en font partie.

Prenons le paramètre entier q = 2 et la valeur z = 1. Les données sont donc q = 2, z = 1 et n = 0, 1, 2, 3 pour les quatre premiers termes.

Pour n = 0, le terme vaut 1⁰/2⁰ = 1.
Pour n = 1, le terme vaut 1¹/2¹ = 1/2.
Pour n = 2, le terme vaut 1²/2³ = 1/8.
Pour n = 3, le terme vaut 1³/2⁶ = 1/64.

La somme de ces quatre termes est 1 + 1/2 + 1/8 + 1/64 = 105/64, soit environ 1,640625. Cette valeur est une somme partielle, pas la valeur exacte de T₂(1). Le contrôle consiste à ajouter le terme suivant, égal à 1/1024, puis à constater que les corrections deviennent rapidement petites.

Pour obtenir une approximation numérique de T_q(z), on additionne les termes dans l'ordre des indices et on arrête la somme lorsque la correction suivante est négligeable devant la précision visée. Pour q = 2 et z = 1, les termes diminuent très vite.

Pour vérifier une identité, le calcul direct de quelques termes est utile, mais il ne suffit pas à lui seul. Dans T_q(z), séparons le terme n = 0 : les termes d'indice n ≥ 1 donnent, avec m = n − 1, ${\sum }_{n\ge 1}\frac{z^n}{q^{n(n+1)\mathrm{/}2}}={\sum }_{m\ge 0}\frac{z^{m+1}}{q^{(m+1)(m+2)\mathrm{/}2}}=\frac{z}{q}{\sum }_{m\ge 0}\frac{(z\mathrm{/}q{)}^m}{q^{m(m+1)\mathrm{/}2}}=\frac{z}{q}{T}_q(z\mathrm{/}q)\backslash sum\_\{n\backslash ge\; 1\}\backslash frac\{z^n\}\{q^\{n(n+1)/2\}\}=\backslash sum\_\{m\backslash ge\; 0\}\backslash frac\{z^\{m+1\}\}\{q^\{(m+1)(m+2)/2\}\}=\backslash frac\{z\}\{q\}\backslash sum\_\{m\backslash ge\; 0\}\backslash frac\{(z/q)^m\}\{q^\{m(m+1)/2\}\}=\backslash frac\{z\}\{q\}T\_q(z/q)$. On retrouve donc $T_q(z)=1+\frac{z}{q}{T}_q(z\mathrm{/}q)T\_q(z)=1+\backslash frac\{z\}\{q\}T\_q(z/q)$ : le 1 est le terme initial, et le facteur z/q vient de la réindexation. Cette méthode est préférable à une simple comparaison graphique.

Si la question porte sur une propriété arithmétique ou de transcendance, une somme numérique ne tranche pas le problème. Il faut alors employer les résultats théoriques adaptés, plutôt que confondre une approximation convaincante avec une preuve.

La fonction de Tschakaloff ne doit pas être confondue avec une série géométrique. Dans une série géométrique, le rapport entre deux termes successifs reste constant. Ici, pour un même z non nul, ce rapport dépend de n : le passage de l'indice n à n + 1 introduit une puissance supplémentaire de z et un facteur de qⁿ⁺¹. Le cas q = 2, z = 1, où les termes 1, 1/2, 1/8 et 1/64 ne suivent pas un rapport constant, permet de trancher.

Elle ne se confond pas non plus avec une fonction définie par la série dont l'exposant serait n(n − 1)/2. Cette autre convention produit une équation fonctionnelle différente. Le critère testable est l'exposant écrit dans le dénominateur : n(n + 1)/2 pour la définition retenue ici.

Le seuil |q| > 1 est essentiel. Pour q = 1, le dénominateur vaut toujours 1 et la série devient Σ zⁿ, qui ne converge pas pour tout z. Pour q = −1, le même défaut apparaît avec des signes périodiques +, −, −, + selon n, tandis que le module du terme vaut |z|ⁿ. Il faut donc utiliser une autre analyse du domaine de convergence, et ne pas appeler automatiquement la fonction obtenue une fonction entière.

Une seconde difficulté vient des formules fonctionnelles recopiées trop vite. Avec l'exposant n(n + 1)/2, le décalage d'indice donne $T_q(z)=1+\frac{z}{q}{T}_q(z\mathrm{/}q)T\_q(z)=1+\backslash frac\{z\}\{q\}T\_q(z/q)$. La formule 1 + z · T_q(z/q) possède un facteur q manquant, et 1 + z · T_q(z) n'est pas une identité de cette définition. Le bon réflexe est de recalculer le terme général après le changement d'indice.

Enfin, une somme partielle n'est jamais automatiquement la valeur de la fonction. Pour q = 2 et z = 1, les quatre premiers termes donnent 105/64 ; le reste est positif et non nul. Cette somme fournit une approximation par défaut, pas une égalité avec T₂(1).

L'article Discontinuités et séries de fonctions élargit le regard sur les séries de fonctions. Il aide à situer les questions de convergence qui apparaissent lorsqu'une fonction est construite par addition de termes, avant d'aborder les propriétés particulières de la fonction de Tschakaloff.