AnalyseObjet mathématique · Glossaire
série de Lambert
Une série de Lambert est une série de fonctions d'une variable complexe q, définie par Sₙ = Σₖ₌₁ⁿ aₖ qᵏ / (1 − qᵏ), où (aₖ) est une suite de nombres complexes et |q| < 1. Ces séries ont été étudiées par Johann Heinrich Lambert et interviennent en théorie des nombres, notamment dans les relations avec les fonctions multiplicatives et les développements de séries de Dirichlet. Elles présentent des propriétés remarquables liées à la divisibilité des entiers.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire le rôle de chaque terme dans une série de Lambert.
- Passer des multiples aux sommes sur les diviseurs.
- Recalculer une somme partielle pour a_k = 1 et q = 1/2.
- Distinguer série de Lambert, série entière et série de Dirichlet.
- Repérer les hypothèses nécessaires à la convergence et au regroupement.
En clair
Prenons un entier k et écrivons tous ses multiples. Le quotient qk/(1 − qk) rassemble précisément les puissances qk, q2k, q3k, etc. Une série de Lambert superpose ces listes de multiples, chacune pondérée par un nombre ak.
Quand les termes sont regroupés selon une même puissance qm, seuls les indices k qui divisent m contribuent. C'est ce passage des multiples aux diviseurs qui rend la série utile en théorie des nombres.
Définition
Soit une suite de nombres complexes, dont le terme d'indice k est noté ak, et soit un nombre complexe q tel que |q| < 1. La somme partielle d'ordre n d'une série de Lambert est :
Comme |q| < 1, aucun dénominateur 1 − qk ne s'annule. La série infinie est la limite de ces sommes partielles lorsqu'elle converge. La seule condition |q| < 1 ne suffit pas pour une suite (ak) arbitraire ; une condition suffisante est la convergence de la série des |ak||q|k/(1 − |q|k).
Sous convergence absolue, chaque dénominateur se développe en série géométrique et les termes peuvent être regroupés. Le coefficient de qm devient la somme des ad pour tous les diviseurs positifs d de m :
Cette identité explique le lien avec les fonctions arithmétiques et la divisibilité.
De quoi c'est fait
Une série de Lambert réunit quatre éléments. La suite (ak) fournit le poids attaché à chaque indice k. La variable complexe q commande la taille des puissances. Le numérateur qk fixe le premier multiple de k, tandis que le dénominateur 1 − qk engendre tous les multiples suivants par développement géométrique. Enfin, la sommation additionne les contributions de tous les indices.
Le dénominateur dépend du même indice k que le poids ak : cette dépendance est essentielle. Lorsqu'une puissance qm est fixée, elle reçoit une contribution exactement pour chaque k divisant m. Les poids de ces diviseurs suffisent donc à calculer son coefficient.
Un exemple, pas à pas
Choisissons ak = 1 pour tout entier k. Chaque ligne de la figure marque les multiples d'un indice k ; le total d'une colonne m est alors le nombre de diviseurs positifs de m.
Données.
Poids : a1 = a2 = a3 = 1.
Variable : q = 1/2.
Somme partielle : n = 3.
Poids : a1 = a2 = a3 = 1.
Variable : q = 1/2.
Somme partielle : n = 3.
Étape 1. Remplaçons k successivement par 1, 2 et 3 :
Étape 2. Les trois termes valent respectivement 1, 1/3 et 1/7. Leur somme est donc .
Contrôle. En développant la série infinie avec ak = 1, les six premiers coefficients sont 1, 2, 2, 3, 2 et 4. Ils coïncident avec les nombres de diviseurs positifs de 1, 2, 3, 4, 5 et 6, comptés dans les colonnes de la figure.
En pratique
Pour produire une fonction de q dont les coefficients sont des sommes sur les diviseurs, on choisit les poids ak puis on construit la série de Lambert. Une série entière ordinaire est préférable lorsque les coefficients sont déjà connus directement et ne proviennent pas d'une agrégation par divisibilité.
Pour calculer numériquement une valeur avec |q| nettement inférieur à 1, on additionne des sommes partielles jusqu'à ce que la queue soit suffisamment petite pour la précision visée. Si |q| est proche de 1, la décroissance est plus lente ; il faut davantage de termes ou une transformation adaptée.
Pour établir une identité arithmétique, on développe chaque quotient en puissances de q, puis on compare les coefficients. Cette méthode convient quand la convergence absolue autorise le regroupement ; dans un cadre formel, la comparaison s'effectue coefficient par coefficient.
À ne pas confondre
Série de Lambert et série de Dirichlet. Une série de Lambert utilise les termes qk/(1 − qk) et organise des coefficients selon la divisibilité. Une série de Dirichlet emploie des puissances d'un entier au dénominateur. Le terme général permet de trancher.
Série de Lambert et série entière ordinaire. Une série entière s'écrit directement comme une somme de coefficients multipliés par qm. Dans une série de Lambert, les coefficients de cette forme sont obtenus après développement des dénominateurs et sommation sur les diviseurs.
Limites et pièges
La condition |q| < 1 n'impose pas à elle seule la convergence. Elle empêche les dénominateurs de s'annuler, mais des poids ak croissant trop vite peuvent faire diverger la série. Il faut contrôler la suite des poids ou travailler avec des sommes partielles.
Le bord |q| = 1 demande une autre analyse. Pour q = 1, tous les dénominateurs s'annulent. Pour d'autres points du cercle unité, certains dénominateurs s'annulent dès que q est une racine de l'unité. La formule définie pour |q| < 1 ne doit donc pas y être substituée automatiquement.
Une somme partielle n'est pas la série infinie. La valeur 31/21 de l'exemple correspond uniquement aux trois indices k = 1, 2 et 3. Ajouter les indices suivants augmente cette valeur lorsque q = 1/2 et ak = 1.
Regrouper exige une justification. L'identité par les diviseurs est sûre sous convergence absolue. Sans cette hypothèse, changer l'ordre d'une double somme peut changer le résultat ou n'avoir aucun sens ; il faut conserver l'ordre initial ou préciser un cadre formel.
Pour aller plus loin
La fonction arithmétique fournit le langage naturel pour étudier les poids ak et les sommes de leurs valeurs sur les diviseurs.
La série de Dirichlet offre un autre encodage analytique des fonctions arithmétiques et aide à situer précisément la spécificité du dénominateur de Lambert.
La fonction génératrice replace la série obtenue après regroupement dans le cadre général des séries dont les coefficients codent une suite.
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