formule du binôme généralisée

Pour approcher √1,21, on peut écrire 1,21 comme 1 + 0,21. Avec un exposant entier, le binôme de Newton donne un nombre fini de termes. Avec l'exposant 1/2, le développement continue indéfiniment : 1, puis +0,105, puis −0,0055125, et ainsi de suite.

Ces corrections deviennent de plus en plus petites parce que 0,21 est strictement inférieur à 1 en valeur absolue. Leurs sommes successives se rapprochent de 1,1, la valeur exacte de √1,21. La formule du binôme généralisée transforme ainsi une puissance non entière en une série calculable terme après terme.

La formule du binôme généralisée développe une puissance dont l'exposant n'est pas nécessairement un entier positif. Si r désigne un nombre réel ou complexe et z un nombre tel que |z| < 1, elle écrit la fonction qui vaut 1 en z = 0 sous la forme : $(1+z{)}^r={\sum }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{r}{k}\right)z^k(1+z)^r=\backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\backslash binom\{r\}\{k\}z^k$. Le coefficient d'indice k vaut 1 lorsque k = 0 ; pour k ≥ 1, il est défini par : $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{r}{k}\right)=\frac{r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}\backslash binom\{r\}\{k\}=\backslash frac\{r(r-1)\backslash cdots(r-k+1)\}\{k!\}$.

Pour retrouver la forme avec deux nombres x et y, on pose z = x/y avec y ≠ 0. La condition devient |x/y| < 1 et chaque terme s'écrit $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{r}{k}\right)x^k{y}^{r-k}\backslash binom\{r\}\{k\}x^k\; y^\{r-k\}$. Sur les réels, l'écriture est directement non ambiguë lorsque y > 0. Sur les complexes, l'égalité suppose une détermination cohérente des puissances, c'est-à-dire un même choix local de logarithme pour y, x + y et 1 + x/y.

Lorsque r est un entier positif, les coefficients deviennent nuls après k = r : la série se réduit au binôme de Newton fini. Lorsque r = −1 et y = 1, elle donne la série géométrique $(1+x{)}^{-1}={\sum }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-x{)}^k(1+x)^\{-1\}=\backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}(-x)^k$, valable pour |x| < 1.

Soit r un exposant réel ou complexe. Si la variable z vérifie |z| < 1, alors : Le terme d'indice k est le coefficient binomial généralisé de r multiplié par z^k. La série converge absolument dans ce disque. Pour des nombres complexes, la puissance désigne la branche analytique qui prend la valeur 1 en z = 0.

Le développement canonique exige un exposant r réel ou complexe et un rapport z = x/y défini, donc y ≠ 0. Sa condition vérifiable est |z| = |x/y| < 1. Elle garantit la convergence absolue de la série et, dans le cadre complexe, le choix d'une branche analytique autour de z = 0.

Si |x/y| > 1 et que r n’est pas un entier non négatif, les termes ne peuvent pas fournir ce développement convergent. Lorsque r est un entier non négatif, la série se tronque en revanche en un polynôme valable pour tout rapport. Par exemple, écrire √3 comme √(1 + 2) conduit à z = 2 et sort du disque de convergence. Il faut plutôt factoriser 3 = 4(1 − 1/4) : le nouveau rapport vaut −1/4, puis la racine vaut 2√(1 − 1/4). Au bord |z| = 1, la convergence dépend de r et du point considéré ; le critère strict ne permet donc aucune conclusion automatique.

On cherche √1,21 avec r = 1/2 et z = 0,21. Les données sont |z| = 0,21 < 1 et √1,21 = 1,1. Cette dernière valeur servira seulement au contrôle final.

1. Les quatre premiers coefficients après le terme constant sont 1/2, −1/8, 1/16 et −5/128.
2. On calcule les corrections : 0,105 ; −0,0055125 ; 0,0005788125 ; −0,000075969140625.
3. On les additionne successivement à 1 :

Avec quatre corrections, on obtient donc √1,21 ≈ 1,099990343359375. Le contrôle est refaisable : la valeur exacte est 1,1, car 1,1 × 1,1 = 1,21. L'erreur absolue après ces quatre corrections vaut environ 0,000009656640625, et les sommes partielles alternent autour de 1,1 en se rapprochant de cette valeur.

Pour approcher une racine ou une puissance proche d'une valeur connue, on réécrit le nombre sous la forme y(1 + z) avec |z| petit. Quelques termes donnent alors une approximation ; une calculatrice reste préférable lorsqu'une valeur numérique seule suffit.

En calcul symbolique, la formule fournit les coefficients successifs d'un développement local. On la choisit lorsqu'on veut conserver l'effet de l'exposant r terme par terme ; un développement de Taylor plus général convient si la fonction n'est pas une puissance.

Pour reconnaître une série familière, on fixe r. Le choix r = −1 fait apparaître la série géométrique, tandis qu'un entier positif arrête automatiquement le développement et ramène au binôme de Newton classique.

Le binôme de Newton classique. Son exposant n est un entier positif et la somme s'arrête à l'indice n. Avec r = 1/2, aucun coefficient ne devient définitivement nul : on utilise la série infinie du binôme généralisé.

La série géométrique. Elle est un cas particulier, non un autre nom de la formule générale. Le test est immédiat : pour r = −1, les termes sont 1, −x, x², −x³, etc. ; pour r = 1/2, les coefficients changent à chaque rang.

La formule de Taylor. Taylor développe de nombreuses fonctions à partir de leurs dérivées. Le binôme généralisé est précisément le développement de la fonction puissance autour de z = 0, avec des coefficients déjà exprimés par des produits décroissants de r.

Rapport trop grand. Si |x/y| > 1 et que r n’est pas un entier non négatif, les termes de ce développement ne convergent pas vers la puissance cherchée. Il faut alors modifier la factorisation afin d'obtenir un rapport de module strictement inférieur à 1, comme pour √3 avec 3 = 4(1 − 1/4). Lorsque r est un entier non négatif, la série se tronque en un polynôme valable pour tout rapport.

Frontière du disque. Au seuil |x/y| = 1, certains choix de r et du signe convergent, d'autres divergent. La condition |x/y| < 1 est suffisante et uniforme ; au bord, il faut étudier séparément la série obtenue.

Puissances complexes. L'identité $(x+y{)}^r=y^r(1+x\mathrm{/}y{)}^r(x+y)^r=y^r(1+x/y)^r$ n'est pas indépendante du choix des arguments complexes. Des branches incompatibles produisent un facteur de phase erroné ; il faut fixer une même détermination locale du logarithme avant de factoriser.

Troncature. Une somme partielle n'est généralement qu'une approximation lorsque r n'est pas un entier positif. Dans l'exemple, 1,099990343359375 n'est pas égal à √1,21 : l'égalité exacte reste 1,1, et l'écart vaut environ 9,66 × 10⁻⁶.

Le binôme de Newton montre pourquoi le développement devient fini lorsque l'exposant est un entier positif.

La série géométrique détaille le cas r = −1 et son même seuil de convergence |x| < 1.

La série entière replace ce développement dans le cadre des sommes de puissances et de leur rayon de convergence.

L'article La genèse des expansions de fonctions apporte un recul historique sur la représentation des fonctions par des séries.