Histoire et cultureNotion · Glossaire
binôme de Newton
Le binôme de Newton désigne la formule générale donnant le développement de la puissance n-ième d'une somme de deux termes (a + b)^n. Cette formule exprime ce développement comme une somme de termes de la forme C(n, p) · a^p · b^(n−p), où les coefficients C(n, p), appelés coefficients binomiaux, sont donnés par C(n, p) = n! / (p! · (n−p)!). Ces coefficients apparaissent dans le triangle de Pascal. Bien que la formule soit traditionnellement attribuée à Newton, qui l'a notamment étendue au cas des exposants non entiers, des mathématiciens indiens, arabes et perses en avaient connaissance dès le 11e siècle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Écrire la formule du binôme pour un exposant entier naturel et interpréter chacun de ses symboles.
- Développer (2x + 1) à la puissance 4 avec les coefficients 1, 4, 6, 4, 1.
- Contrôler le résultat numérique obtenu en prenant x égal à 1.
- Distinguer le binôme, le triangle de Pascal et la formule qui associe coefficients et puissances.
- Repérer les cas limites liés à l’exposant, au signe et aux deux conventions d’ordre des puissances.
En clair
Imaginez que vous deviez multiplier quatre fois le même binôme (2x + 1). Un développement direct produit beaucoup de produits intermédiaires qu’il faut ensuite regrouper.
Le binôme de Newton organise ce calcul d’un seul coup. La ligne 1, 4, 6, 4, 1 du triangle de Pascal indique les cinq coefficients. Pendant ce temps, la puissance de 2x descend de 4 à 0 et celle de 1 monte de 0 à 4. On obtient ainsi tous les termes, sans oubli ni double comptage.
Définition
Soit n un entier naturel, et soient a et b deux nombres ou deux expressions que l’on peut multiplier et additionner, et qui commutent, c’est-à-dire tels que ab = ba. Le binôme de Newton développe la puissance (a + b)n en une somme de n + 1 termes avant simplification. En notant p un entier allant de 0 à n, la formule s’écrit : .
Le coefficient binomial lu « n parmi p » vaut . Le symbole n! désigne le produit des entiers de 1 à n, avec la convention 0! = 1. Les coefficients d’un même développement forment la ligne n du triangle de Pascal. Leur symétrie, , explique que l’on rencontre aussi la formule avec les puissances de a et de b inversées.
La formule finie du binôme concerne les exposants entiers naturels. Elle était connue de mathématiciens indiens, arabes et perses dès le 11e siècle. Newton lui est traditionnellement associé parce qu’il l’a notamment étendue au cas d’exposants non entiers.
Un exemple, pas à pas
Données. On veut développer (2x + 1)4. Les deux termes sont a = 2x et b = 1, et l’exposant est n = 4. La ligne correspondante du triangle de Pascal est 1, 4, 6, 4, 1.
1. La formule fournit cinq termes, car p prend les valeurs 0, 1, 2, 3 et 4. Les puissances de 2x vont de 0 à 4 tandis que celles de 1 vont de 4 à 0.
2. En associant les coefficients aux puissances, on écrit .
3. Les cinq produits valent successivement 1, 8x, 24x2, 32x3 et 16x4. On les range habituellement par puissances décroissantes de x.
Résultat. .
Contrôle. Pour x = 1, le membre de gauche vaut 34 = 81. La somme des termes du membre de droite vaut 16 + 32 + 24 + 8 + 1 = 81 : le calcul concorde.
En pratique
Pour développer une puissance entière d’un binôme, la formule donne directement les coefficients et les exposants. Une multiplication répétée reste praticable pour n = 2 ou n = 3 ; lorsque n augmente, le triangle de Pascal limite les oublis et les regroupements inutiles.
Si l’on cherche seulement un coefficient, il n’est pas nécessaire d’écrire tout le développement. Dans (2x + 1)4, le coefficient de x2 vient du choix p = 2 : on calcule 6 × 22 = 24. Le développement complet est préférable lorsqu’il faut ensuite additionner ou comparer tous les termes.
En combinatoire, le coefficient « n parmi p » compte les choix de p objets parmi n, sans tenir compte de leur ordre. Le triangle de Pascal est alors utile pour lire de petits coefficients ; la formule avec les factorielles convient mieux lorsqu’une ligne entière n’est pas disponible.
À ne pas confondre
Avec un binôme. Un binôme est simplement une expression formée de deux termes, comme 2x + 1. Le binôme de Newton est la formule qui développe une puissance entière de cette somme. Devant 2x + 1 seul, il n’y a rien à développer ; devant (2x + 1)4, la formule s’applique.
Avec le triangle de Pascal. Le triangle fournit les coefficients 1, 4, 6, 4, 1, mais il ne place pas les puissances. Le binôme de Newton associe ces nombres aux termes apbn−p. Pour (2x + 1)4, recopier seulement la ligne du triangle ne suffit donc pas à obtenir 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1.
Limites et pièges
Exposant entier naturel. La somme finie de n + 1 termes suppose n entier naturel. Au cas charnière n = 0, elle contient un seul terme et donne (a + b)0 = 1 lorsque a + b est non nul. Pour un exposant non entier, l’extension associée à Newton est un développement différent, soumis à des conditions de convergence.
Différence au lieu d’une somme. Pour développer (a − b)n, on remplace le second terme par −b. Les coefficients binomiaux restent positifs, mais les signes des termes alternent selon la puissance de −b. Il ne faut donc pas recopier sans changement le développement de (a + b)n.
Ordre des puissances. La source écrit apbn−p, tandis que certains ouvrages écrivent an−pbp. Les deux sommes sont identiques parce que p parcourt tous les entiers de 0 à n et que les coefficients sont symétriques. Mélanger les deux conventions au milieu d’un calcul peut toutefois faire associer un coefficient au mauvais terme.
Factorielle aux extrémités. Pour p = 0 ou p = n, la formule contient 0!. La convention 0! = 1 donne alors les deux coefficients extrêmes égaux à 1. Les supprimer ferait disparaître le premier ou le dernier terme du développement.
Pour aller plus loin
triangle de Pascal — Montre comment construire les lignes qui fournissent les coefficients de chaque développement.
analyse combinatoire — Relie « n parmi p » au comptage des choix de p objets parmi n.
Le très mal nommé « triangle de Pascal » — Prolonge l’histoire internationale d’un outil antérieur à Pascal.
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