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tétraèdre de Pascal
Le tétraèdre de Pascal est la généralisation tridimensionnelle du triangle de Pascal : pour tout entier naturel n, son étage n rassemble les coefficients multinomiaux du développement de (a + b + c)^n. Chaque étage est triangulaire et toute case intérieure s’obtient en additionnant ses trois parents de l’étage précédent, ce qui permet de calculer ces coefficients et de dénombrer des répartitions entre trois catégories.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier un étage du tétraèdre au développement de (a + b + c)ⁿ.
- Calculer le coefficient de abc² dans la puissance quatrième par deux méthodes.
- Reconnaître les lignes du triangle de Pascal sur les bords.
- Éviter les erreurs d’indexation et traiter les parents situés hors du domaine.
En clair
Imaginez que vous développiez un produit comportant quatre facteurs identiques, chacun offrant le choix entre a, b et c. Chaque choix produit un terme, et plusieurs choix peuvent aboutir au même terme. Le quatrième étage du tétraèdre de Pascal regroupe ces nombres de façons dans un triangle : 1 aux coins, 4 et 6 sur les bords, puis 12 au voisinage du centre.
En empilant ces triangles pour les exposants 0, 1, 2, 3, puis 4, on obtient une pyramide de nombres. C’est l’équivalent à trois choix du triangle de Pascal, qui n’en organise que deux.
Définition
Le tétraèdre de Pascal est un tableau triangulaire à trois indices qui range les coefficients du développement d’une puissance de trinôme. Pour un étage numéroté par l’entier naturel n, chaque position est repérée par trois entiers naturels i, j et k dont la somme vaut n. Le nombre placé à cette position est le coefficient du terme aibjck.
Ce coefficient multinomial vaut . Il compte les suites de n choix contenant exactement i lettres a, j lettres b et k lettres c. Sur un bord, l’un des trois indices vaut 0 : la formule se réduit alors à un coefficient binomial, ce qui explique la présence d’une ligne du triangle de Pascal sur chaque côté.
En convenant qu’un coefficient portant un indice négatif vaut 0, chaque coefficient de l’étage n est la somme des trois coefficients parents de l’étage n − 1. Les étages empilés forment le tétraèdre arithmétique ; chacune de ses quatre faces reproduit un triangle de Pascal.
Où on le rencontre
On rencontre le tétraèdre de Pascal sous la forme d’une pile de triangles de tailles croissantes. L’étage 0 contient un seul 1 ; l’étage n comporte n + 1 nombres sur chacun de ses côtés. Les trois sommets d’un étage portent 1, ses côtés lisent une ligne du triangle de Pascal et les valeurs intérieures ont trois parents dans l’étage précédent.
Ce support encode les coefficients de (a + b + c)n. Un triangle isolé donne tous les coefficients pour un exposant fixé ; l’empilement montre simultanément leur évolution lorsque l’exposant augmente.
Le mode d'emploi
Pour lire un coefficient, on fixe d’abord l’étage n, donc la puissance du trinôme. On repère ensuite les trois exposants i, j et k du terme recherché, en vérifiant que i + j + k = n. La valeur située à cette position donne le multiplicateur de aibjck.
On peut enfin contrôler la lecture par les trois parents ou par la formule factorielle. À l’étage 4, le coefficient de abc2 est 12 : ses parents dans l’étage 3 valent 3, 3 et 6. Une perspective dessinée peut faire croire que des nombres éloignés sont voisins ; seuls les indices, ou les segments explicites de la figure, déterminent les parentés.
Un exemple, pas à pas
On cherche le coefficient du terme abc2 dans (a + b + c)4. Les données sont n = 4, i = 1, j = 1 et k = 2 ; leur somme vaut bien 4.
1. La formule multinomiale donne .
2. Le même résultat se lit par récurrence. Dans l’étage 3, les trois parents correspondent aux triples (0, 1, 2), (1, 0, 2) et (1, 1, 1) ; leurs coefficients sont 3, 3 et 6.
3. Leur somme vaut 3 + 3 + 6 = 12. Le terme recherché est donc 12abc2.
Le contrôle global consiste à additionner les quinze coefficients de l’étage 4. Leur somme vaut 81, soit 34, comme le développement évalué en a = b = c = 1. La figure rend visible ce même étage et met en évidence la valeur 12.
En pratique
Dans un développement de trinôme, le tétraèdre évite d’énumérer toutes les suites de choix. On repère les trois exposants et on lit directement le coefficient qui regroupe les termes identiques. Pour un seul coefficient, la formule multinomiale est souvent plus rapide que la construction de tout l’étage.
En dénombrement, une case répond à une question de répartition : combien de mots de longueur n, formés exclusivement de trois symboles, contiennent i occurrences du premier, j du deuxième et k du troisième ? La représentation est utile lorsque plusieurs répartitions doivent être comparées ; un calcul isolé se traite plus sobrement par les factorielles.
Pour calculer étage après étage, la règle des trois parents n’emploie que des additions. Elle convient à une génération récursive, tandis que la formule fermée convient mieux lorsqu’on connaît déjà les indices de la case recherchée.
À ne pas confondre
Le triangle de Pascal organise les coefficients de (a + b)n : deux exposants sont utilisés et chaque case intérieure a deux parents. Le tétraèdre de Pascal traite (a + b + c)n : trois indices i, j et k sont utilisés et chaque case intérieure a trois parents. À l’étage n fixé, deux indices suffisent toutefois à repérer une case, puisque le troisième vaut n − i − j. Le coefficient 12 de abc2 à l’étage 4 relève donc du tétraèdre.
Un tétraèdre géométrique est un polyèdre formé de quatre faces triangulaires. Le tétraèdre de Pascal est avant tout une organisation de nombres indexés ; sa forme tétraédrique représente les relations entre coefficients, sans imposer de longueurs ni d’angles géométriques.
Limites et pièges
À l’étage n = 0, il n’existe qu’une case, de valeur 1. La règle des trois parents ne s’y applique pas : cet étage sert de condition initiale à la construction.
Sur un bord, un indice vaut 0 et certains parents sortent du domaine. Il ne faut ni les chercher dans le dessin ni réduire arbitrairement la règle : la convention correcte leur attribue la valeur 0, ce qui redonne l’addition à deux parents du triangle de Pascal.
Le numéro d’étage dépend de la convention d’indexation. Ici, l’étage n porte les coefficients de la puissance n et l’étage 0 est le sommet initial. Si une représentation appelle ce même triangle « cinquième couche », il faut vérifier si elle compte les couches à partir de 1.
Au-delà de trois variables, l’analogue n’est plus un tétraèdre visible dans l’espace ordinaire. Avec p variables, on obtient un (p − 1)-simplexe de Pascal : il conserve la formule multinomiale et la règle des parents, mais son étude devient principalement algébrique.
Pour aller plus loin
Le triangle de Pascal permet de revenir au cas de deux variables et de comparer la règle à deux parents avec celle à trois parents.
Les coefficients multinomiaux donnent la formule générale des cases et leur interprétation comme répartitions d’objets de plusieurs types.
L’article Le très mal nommé « triangle de Pascal » replace le tableau classique dans une histoire plus large que son appellation usuelle.
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