AlgèbreNotion · Glossaire
Coefficients multinomiaux
Les coefficients multinomiaux généralisent les coefficients binomiaux au cas où l'on distribue n objets en plusieurs groupes. Le coefficient multinomial (n ; k1, k2, ..., kr) avec k1+k2+...+kr = n est égal à n! divisé par le produit des ki!. Il compte le nombre de façons d'ordonner une séquence de n éléments avec ki répétitions de chaque type i. Ces coefficients apparaissent dans le développement du multinôme (x1 + x2 + ... + xr) à la puissance n, d'où leur nom.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter le coefficient multinomial comme un nombre de suites avec répétitions.
- Appliquer la formule factorielle sous la condition que les multiplicités totalisent n.
- Contrôler le résultat 60 de deux façons indépendantes.
- Relier le coefficient au développement d’un multinôme.
En clair
Alignez six jetons : trois rouges, deux jaunes et un noir. Si chaque jeton était unique, il existerait 6! ordres. Mais échanger deux jetons rouges ne crée aucune suite visible nouvelle, pas plus qu’échanger les deux jaunes.
Le coefficient multinomial corrige ces répétitions. Il compte ici 60 suites de couleurs distinctes. Plus généralement, il répond à la question : combien de séquences peut-on former lorsque le nombre d’éléments de chaque type est fixé ?
Définition
Un coefficient multinomial compte les suites de longueur fixée dont chaque type d’élément apparaît un nombre imposé de fois. De façon équivalente, il compte les répartitions de n objets distincts entre des groupes étiquetés de tailles fixées. Le nombre total d’éléments est noté n. Le nombre de types ou de groupes est noté r, et la multiplicité du type numéro i est notée ki. Les multiplicités sont des entiers naturels et leur somme doit être égale à n.
Sous ces conditions, le coefficient est :
La factorielle de n, notée n!, compte les ordres de n objets distincts. Chaque facteur ki! retire les échanges entre éléments du même type, qui ne modifient pas la suite observée.
Le même nombre est le coefficient du monôme dans le développement de . Lorsque r vaut 2, on retrouve un coefficient binomial.
Un exemple, pas à pas
On veut ordonner six jetons en ne regardant que leur couleur. Les données sont : six places, trois jetons rouges, deux jaunes et un noir. Deux suites sont différentes dès qu’au moins une place porte une autre couleur.
1. Vérifier le total : 3 + 2 + 1 = 6.
2. Compter d’abord les 6! ordres que l’on obtiendrait avec six jetons tous distincts.
3. Diviser par 3!, car les trois jetons rouges peuvent permuter sans produire une nouvelle suite, puis par 2! pour les jaunes.
Il existe donc 60 suites de couleurs distinctes. Un contrôle indépendant consiste à choisir 3 places rouges parmi 6, puis 2 places jaunes parmi les 3 restantes : . La dernière place est nécessairement noire.
En pratique
Pour compter des mots formés avec des lettres répétées, on relève la multiplicité de chaque lettre, puis on applique le coefficient multinomial. Si toutes les lettres sont distinctes, une simple factorielle suffit.
Pour répartir six positions entre trois couleurs avec des effectifs fixés à 3, 2 et 1, le coefficient multinomial compte directement les suites. Si seules deux catégories sont présentes, le coefficient binomial est la forme plus simple du même calcul.
Dans un développement algébrique, on repère les exposants du monôme recherché. Leur somme doit donner la puissance du multinôme ; le coefficient multinomial fournit alors son coefficient numérique.
À ne pas confondre
Coefficient binomial. Il ne sépare les n positions qu’en deux catégories. Avec trois rouges, puis trois « non rouges », il compte 20 choix ; distinguer ensuite deux jaunes et un noir exige le coefficient multinomial, qui en compte 60.
Permutation d’objets distincts. Une permutation distingue chaque objet et donne 6! = 720 ordres pour six jetons étiquetés. Le coefficient multinomial identifie les échanges entre jetons d’une même couleur, d’où seulement 60 suites visibles dans l’exemple.
Limites et pièges
Somme incorrecte. Si les multiplicités ne totalisent pas n, elles ne décrivent aucune suite de longueur n. Il faut corriger les effectifs ou changer la longueur avant d’appliquer la formule.
Catégorie absente. Une multiplicité peut valoir zéro. La convention 0! = 1 garantit qu’une catégorie absente ne change pas le résultat ; il ne faut pas supprimer arbitrairement un autre facteur.
Objets partiellement distingués. Diviser par ki! suppose que les éléments du type i sont indiscernables pour la question posée. Si les trois jetons rouges portent des numéros pris en compte, leurs échanges redeviennent distincts.
Effectifs non entiers. Les multiplicités comptent des occurrences : elles doivent être des entiers naturels. Des proportions comme 1/2 ou 30 % ne peuvent entrer dans la formule qu’après conversion en effectifs entiers cohérents.
Pour aller plus loin
Multinôme — Relier les coefficients aux termes obtenus lorsqu’une somme de plusieurs variables est élevée à une puissance.
Binomiaux (coefficients) — Étudier le cas à deux catégories et reconnaître son rôle dans le développement d’une somme de deux termes.
dénombrement — Situer ce calcul parmi les méthodes qui comptent des configurations sans les énumérer une à une.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres