AlgèbreNotion · Glossaire
combinaison - sans répétition -
Une combinaison de p éléments choisis parmi n éléments distincts est un sous-ensemble de p éléments, où l'ordre de sélection n'est pas pris en compte et où chaque élément ne peut être choisi qu'une fois. Le nombre de telles combinaisons, noté C(n,p) ou (p parmi n), est donné par la formule : C(n,p) = n! / (p! · (n−p)!). Ces coefficients binomiaux apparaissent notamment dans le développement du binôme de Newton et dans de nombreux dénombrements combinatoires.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un choix où l'ordre ne compte pas et où aucun élément ne se répète.
- Lire la notation C(n,p) et appliquer sa formule factorielle sous les bonnes conditions.
- Reproduire le calcul des dix comités de trois personnes parmi cinq.
- Distinguer combinaison, arrangement, permutation et combinaison avec répétition.
- Traiter les cas p = 0, p = n et p supérieur à n.
En clair
Cinq personnes, A, B, C, D et E, proposent de former un groupe de trois. Le groupe réunissant A, B et C reste le même, que l'on cite A avant B ou B avant A. Une personne ne peut pas occuper deux places dans ce groupe.
Une combinaison retient donc seulement qui est choisi, sans mémoriser l'ordre du choix. Parmi les cinq personnes, il existe dix groupes différents de trois.
Définition
Une combinaison sans répétition de p éléments parmi n éléments distincts est un sous-ensemble contenant exactement p éléments. Le nombre n désigne l'effectif disponible et p l'effectif choisi. Les deux sont des entiers, avec 0 ≤ p ≤ n. L'ordre ne crée pas de nouveau choix et aucun élément ne peut apparaître deux fois.
Ce nombre est noté C(n, p), parfois « p parmi n ». Le symbole ! désigne la factorielle : pour un entier positif, n! est le produit des entiers de 1 à n, et 0! vaut 1. La formule est : .
Les nombres ainsi obtenus sont les coefficients binomiaux. Ils interviennent dans de nombreux dénombrements et comme coefficients du développement du binôme de Newton. Choisir les p éléments retenus revient aussi à choisir les n − p éléments écartés, d'où l'identité .
Un exemple, pas à pas
On forme un comité de trois personnes parmi A, B, C, D et E. Les données sont donc cinq personnes distinctes, n = 5, et trois places sans rôle particulier, p = 3.
1. Compter provisoirement des choix ordonnés : 5 possibilités pour la première personne, puis 4 et 3. Cela donne 5 × 4 × 3 = 60 suites.
2. Dans ces 60 suites, chaque même comité est compté 3! = 6 fois. Par exemple, ABC, ACB, BAC, BCA, CAB et CBA décrivent tous le comité formé par A, B et C.
3. Supprimer ces répétitions dues à l'ordre : 60 ÷ 6 = 10. Il existe donc 10 comités de trois personnes.
Le comptage se résume par cinq choix disponibles, six ordres possibles pour chaque trio et dix groupes distincts.
4. Contrôler avec la formule : . On peut aussi choisir les deux personnes écartées : , ce qui confirme le résultat.
En pratique
Pour former un comité de trois personnes parmi cinq sans attribuer de fonction, on compte des combinaisons. Si les trois places correspondent plutôt à une présidence, un secrétariat et une trésorerie, l'ordre des attributions compte : il faut alors compter des arrangements.
Pour constituer une main de trois cartes distinctes, seule la sélection finale importe. Si une carte est remise dans le paquet après chaque tirage, un même résultat peut réapparaître : le modèle sans répétition ne convient plus.
Dans un tirage où trois numéros distincts sont retenus et où leur ordre n'est pas récompensé, le nombre d'issues est une combinaison. Dès que le rang de sortie modifie le résultat, le critère observable devient l'ordre et le calcul doit changer.
À ne pas confondre
Un arrangement. Il choisit p éléments parmi n, mais tient compte de leur ordre. Pour trois fonctions différentes attribuées parmi cinq personnes, ABC et BAC sont deux résultats ; pour un comité sans fonction, ils n'en forment qu'un.
Une permutation. Elle ordonne tous les éléments disponibles. Mettre les cinq personnes en file utilise les cinq personnes et donne une permutation ; en retenir seulement trois sans ordre donne une combinaison.
Une combinaison avec répétition. Elle autorise un même type d'élément à être retenu plusieurs fois. Le test est immédiat : si sélectionner deux fois le même élément est permis, la formule des combinaisons sans répétition ne s'applique pas.
Limites et pièges
Aux deux extrêmes. Si p = 0, il existe un seul choix : l'ensemble vide. Si p = n, il existe encore un seul choix : prendre tous les éléments. La formule donne bien C(n, 0) = C(n, n) = 1.
Lorsque p dépasse n. Choisir six personnes distinctes parmi cinq est impossible. La formule factorielle affichée n'est pas à employer avec (n − p) négatif ; en combinatoire, on prolonge couramment la notation en posant C(n, p) = 0 dans ce cas.
Si les objets ne sont pas distincts. La présence de deux objets indiscernables rend le comptage par sous-ensembles de positions trompeur. Il faut d'abord préciser ce qui distingue réellement les choix, puis adopter un modèle tenant compte des multiplicités.
Pour un calcul numérique important. Les factorielles deviennent vite très grandes, même quand leur quotient reste raisonnable. Il vaut mieux simplifier les facteurs avant de multiplier, ou utiliser la symétrie C(n, p) = C(n, n − p), plutôt que d'arrondir.
Pour aller plus loin
Arrangement — Comparer le même choix lorsque l'ordre devient une donnée du résultat.
binôme de Newton — Relier les combinaisons aux coefficients du développement d'une puissance de binôme.
triangle de Pascal — Retrouver les coefficients binomiaux par une construction récursive.
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