Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
arrangement
Dans un ensemble E de n éléments, on appelle arrangement de p éléments (ou p-arrangement) tout p-uplet ordonné formé de p éléments distincts de E. L'ordre dans lequel les éléments sont choisis est pris en compte : deux p-uplets différant uniquement par l'ordre de leurs éléments constituent deux arrangements distincts. Le nombre total d'arrangements de p éléments parmi n est donné par la formule : A(n, p) = n! / (n − p)!
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un choix ordonné sans répétition.
- Calculer A(n, p) avec la formule factorielle ou le produit décroissant.
- Distinguer un arrangement d’une combinaison et d’une permutation.
- Traiter les cas p = 0, p = n, p > n et les répétitions autorisées.
En clair
Imaginez cinq finalistes et un podium de trois places. Choisir Alice, Bilal et Chloé ne suffit pas : il faut encore savoir qui reçoit l’or, l’argent et le bronze. Alice-Bilal-Chloé et Bilal-Alice-Chloé donnent deux podiums différents.
Un arrangement décrit précisément ce choix ordonné. Chaque finaliste ne peut occuper qu’une place, donc le nombre de possibilités diminue à chaque attribution : cinq choix pour l’or, puis quatre pour l’argent et trois pour le bronze.
Définition
On part d’un ensemble E contenant un nombre n d’éléments distincts et l’on fixe un nombre p de places. Un arrangement de p éléments parmi n est une liste ordonnée de longueur p, aussi appelée p-uplet, dont tous les éléments appartiennent à E et sont distincts. Il faut avoir 0 ≤ p ≤ n. Changer l’ordre de deux éléments produit donc un autre arrangement.
Le nombre de ces listes se note A(n, p). La factorielle d’un entier n, notée n!, est le produit des entiers de 1 à n, avec la convention 0! = 1. Le dénombrement des arrangements s’écrit . Pour 1 ≤ p ≤ n, cette formule équivaut au produit n × (n − 1) × … × (n − p + 1) : il reste un choix de moins après chaque place occupée. Pour p = 0, le produit est vide et vaut 1.
Lorsque p vaut 1, chaque élément fournit un arrangement. Lorsque p vaut n, chaque arrangement ordonne tous les éléments de E : il s’agit alors d’une permutation, et leur nombre vaut n!.
Un exemple, pas à pas
Cinq finalistes, Alice, Bilal, Chloé, Diego et Emma, participent à une épreuve. On veut compter les podiums possibles sans ex æquo.
Données :
• l’ensemble contient n = 5 finalistes distincts ;
• le podium possède p = 3 places ordonnées ;
• une même personne ne peut pas occuper deux places.
Données :
• l’ensemble contient n = 5 finalistes distincts ;
• le podium possède p = 3 places ordonnées ;
• une même personne ne peut pas occuper deux places.
1. Choisir la première place parmi 5 finalistes.
2. Choisir la deuxième parmi les 4 finalistes restants.
3. Choisir la troisième parmi les 3 finalistes encore disponibles.
4. Multiplier ces nombres de choix : .
2. Choisir la deuxième parmi les 4 finalistes restants.
3. Choisir la troisième parmi les 3 finalistes encore disponibles.
4. Multiplier ces nombres de choix : .
Il existe donc 60 podiums possibles. Pour contrôler le calcul, fixons Alice à la première place : les deux places restantes peuvent être attribuées de 4 × 3 = 12 façons. Les cinq choix possibles pour la première place donnent bien 5 × 12 = 60. Un schéma des trois attributions rend visible la diminution successive du nombre de choix.
En pratique
Pour établir un classement limité aux trois premiers, on compte des arrangements : chaque rang est distinct et personne ne peut apparaître deux fois. Si seul le groupe des trois finalistes qualifiés importe, sans leurs rangs, il faut compter des combinaisons.
Pour former un code de trois symboles différents choisis parmi cinq, on attribue successivement chaque position. L’arrangement convient parce que l’ordre modifie le code. Si un symbole peut se répéter, le modèle change et la formule des arrangements ne s’applique plus.
Dans un tirage successif sans remise, l’ordre observé forme un arrangement. Ce comptage donne le nombre d’issues ordonnées, qu’elles soient équiprobables ou non. L’équiprobabilité n’intervient que pour calculer certaines probabilités par dénombrement. Si l’expérience ne retient que l’ensemble des objets tirés, l’ordre devient inutile et une combinaison suffit.
À ne pas confondre
Combinaison. Une combinaison ne tient pas compte de l’ordre, contrairement à un arrangement. Avec Alice, Bilal et Chloé, un seul groupe est retenu, tandis que leurs six ordres possibles donnent six podiums distincts.
Permutation. Une permutation ordonne tous les éléments disponibles ; c’est le cas particulier d’un arrangement où p = n. Classer les cinq finalistes produit 5! = 120 permutations, alors qu’un podium de trois places produit 60 arrangements.
Limites et pièges
Plus de places que d’éléments. Si p > n, il est impossible de remplir toutes les places avec des éléments distincts. Le nombre d’arrangements est alors nul ; le quotient de factorielles donné pour 0 ≤ p ≤ n ne doit pas être utilisé.
Aucune place. Pour p = 0, il existe exactement un arrangement : la liste vide. Cette convention donne A(n, 0) = 1, y compris lorsque n = 0 ; « ne rien choisir » constitue une seule possibilité.
Toutes les places. Le seuil p = n transforme le produit décroissant en n!. Avec les cinq finalistes, classer tout le monde donne 5! = 120 ordres, et non les 60 podiums obtenus avec p = 3.
Répétitions autorisées. Dès qu’un même élément peut occuper plusieurs positions, on ne compte plus des arrangements au sens défini ici. Pour trois positions indépendantes ayant chacune cinq choix, le total devient 53 = 125, et non 5 × 4 × 3.
Pour aller plus loin
Le dénombrement replace les arrangements parmi les méthodes qui organisent le comptage sans oublier ni compter deux fois une possibilité.
L’analyse combinatoire élargit la perspective aux principes et structures utilisés pour compter des configurations finies.
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