GéométrieNotion · Glossaire

Binomiaux (coefficients)

Les coefficients binomiaux, notés C(n,k) ou 'n choose k', sont les nombres entiers positifs définis par C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!) pour des entiers n >= k >= 0. Ils représentent le nombre de façons de choisir k éléments parmi n sans ordre ni répétition. Ils apparaissent dans la formule du binôme de Newton : (a+b)^n = somme_{k=0}^{n} C(n,k) a^{n-k} b^k. Le triangle de Pascal organise ces coefficients et met en évidence la relation de récurrence C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k).

Les deux cas sont exclusifs et couvrent tous les comités : C(9,2) + C(9,3) = 36 + 84 = 120.

Sommaire

Ce que vous allez apprendre

Interpréter C(n,k) comme un choix sans ordre ni répétition.
Calculer C(10,3) = 120 à partir de 720 listes ordonnées.
Contrôler ce résultat avec la relation 36 + 84 = 120 de Pascal.
Relier une ligne du triangle aux coefficients du binôme de Newton.
Distinguer combinaison, arrangement et probabilité binomiale.

En clair

Dix personnes se présentent et vous devez en retenir trois. Choisir Alice, Bilal et Chloé donne le même groupe, quel que soit l'ordre dans lequel leurs noms sont annoncés. Chaque groupe doit donc être compté une seule fois.

Le coefficient binomial C(10,3) compte précisément ces groupes de trois parmi dix. Il vaut 120. Cette idée s'étend à tout choix de k éléments parmi n, à condition de ne tenir compte ni de l'ordre ni des répétitions.

Définition

Pour deux entiers n et k tels que 0 ≤ k ≤ n, le coefficient binomial C(n,k) est le nombre de sous-ensembles de k éléments que l'on peut former dans un ensemble de n éléments. L'ordre ne compte pas et un élément ne peut pas être choisi deux fois. Avec le symbole factorielle, où n! désigne le produit des entiers de 1 à n et où 0! = 1, sa valeur est :

C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Choisir les k éléments retenus revient à choisir les n − k éléments écartés ; cette correspondance donne la symétrie C(n,k) = C(n,n − k). Les choix d'aucun élément et de tous les éléments sont uniques : C(n,0) = C(n,n) = 1.

Le triangle de Pascal range C(n,k) à la ligne n et à la position k, en commençant à 0. Chaque valeur intérieure est la somme des deux valeurs situées à la ligne précédente :

C (n, k) = C (n - 1, k - 1) + C (n - 1, k)

, pour 1 ≤ k ≤ n − 1. Ces mêmes nombres sont les coefficients du développement :

(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)a^{n-k}b^k

Un exemple, pas à pas

Une association compte 10 candidats et doit former un comité de 3 personnes. Les données sont n = 10 candidats, k = 3 places, sans répétition, et l'ordre des membres ne crée pas un nouveau comité.

1. Comptons d'abord les listes ordonnées de trois personnes distinctes : 10 choix pour la première place, puis 9 et 8, soit 10 × 9 × 8 = 720 listes.

2. Chaque comité apparaît 3! = 6 fois dans ces listes, une fois par ordre possible de ses membres. Divisons donc 720 par 6 : C(10,3) = 720/6 = 120.

3. Contrôlons avec la récurrence de Pascal. Les comités qui contiennent une personne fixée se comptent par C(9,2) = 36 ; ceux qui ne la contiennent pas par C(9,3) = 84. La figure matérialise cette partition sans recouvrement.

4. La somme 36 + 84 = 120 retrouve le résultat. Le contrôle est refaisable : tout comité appartient à exactement l'un des deux cas, selon qu'il contient ou non la personne fixée.

En pratique

Pour compter des groupes, des mains de cartes ou des échantillons sans remise, utilisez C(n,k) lorsque seul l'ensemble retenu importe. Si l'ordre des places ou des tirages distingue les résultats, il faut compter des arrangements ou des listes ordonnées à la place.

Pour calculer une valeur isolée, simplifiez les facteurs avant de multiplier. Ainsi, C(10,3) se calcule par (10 × 9 × 8)/(3 × 2 × 1), sans développer les deux grandes factorielles 10! et 7!.

Pour construire beaucoup de coefficients successifs, le triangle de Pascal évite les factorielles : partez des 1 placés aux bords et additionnez deux voisins. Pour développer (a + b)ⁿ, lisez ensuite toute la ligne n, en associant à k la puissance b^k.

À ne pas confondre

Combinaison et arrangement. Une combinaison ignore l'ordre, alors qu'un arrangement le conserve. Pour 3 personnes choisies parmi 10, il existe C(10,3) = 120 comités, mais 10 × 9 × 8 = 720 listes ordonnées de président, secrétaire et trésorier.

Coefficient binomial et loi binomiale. C(n,k) est un nombre de choix ; une probabilité binomiale multiplie ce nombre par des puissances de probabilités. Avec 10 essais indépendants de probabilité de succès p, la probabilité de 3 succès est C(10,3)p³(1 − p)⁷, et non C(10,3) seul.

Limites et pièges

Indices hors du domaine de base. La formule factorielle donnée ici suppose des entiers avec 0 ≤ k ≤ n. Pour k < 0 ou k > n, certaines conventions posent C(n,k) = 0 afin de prolonger les récurrences ; il faut annoncer cette convention au lieu d'appliquer des factorielles négatives.

Répétition autorisée. C(n,k) compte des choix sans répétition. Si une même catégorie peut être prise plusieurs fois, le symptôme est qu'un résultat comme « trois fois le même élément » devient admissible ; le modèle des combinaisons ordinaires ne convient plus.

Bords du triangle. La récurrence à deux parents s'applique directement aux positions intérieures, pour 1 ≤ k ≤ n − 1. Aux seuils k = 0 et k = n, la valeur est 1 ; chercher deux parents dans le domaine 0 ≤ k ≤ n crée un indice absent.

Symétrie mal interprétée. L'égalité C(n,k) = C(n,n − k) échange les éléments retenus et écartés ; elle ne signifie pas que C(n,k) = C(k,n). Dans l'exemple, choisir 3 personnes parmi 10 équivaut à en écarter 7, pas à choisir 10 personnes parmi 3.