Multinôme

Prenons quatre places et trois lettres, x, y et z. Pour obtenir x²yz, il faut placer deux x, un y et un z. Les douze ordres possibles produisent pourtant le même monôme lorsque les lettres commutent.

Le coefficient multinomial compte précisément ces ordres sans les énumérer. Le théorème du multinôme réunit ensuite, dans le développement de (x + y + z)⁴, tous les choix possibles de nombres de x, de y et de z.

Le théorème du multinôme développe la puissance entière d’une somme de plusieurs termes. Soit n un entier naturel, soit k un entier strictement positif et soient x₁, …, x_k des éléments qui commutent, par exemple dans un anneau commutatif. Un multi-indice est une liste (n₁, …, n_k) d’entiers naturels dont la somme vaut n.

Chaque multi-indice indique combien de fois chaque terme est choisi dans les n facteurs. Le développement complet est :Le nombre $\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}\backslash frac\{n!\}\{n\_1!\backslash cdots\; n\_k!\}$ est le coefficient multinomial. Il compte les répartitions de n positions entre k groupes de tailles n₁, …, n_k. Pour k = 2, la formule devient celle du binôme de Newton.

On cherche le coefficient de x²yz dans (x + y + z)⁴.
Données : quatre facteurs ; trois termes x, y et z ; deux choix de x, un choix de y et un choix de z.

1. Le multi-indice est (2, 1, 1). Sa somme vaut bien 4, l’exposant de la puissance.

2. La formule du coefficient donne :

3. Le terme correspondant dans le développement est donc 12x²yz. Les douze suites de quatre lettres rendent ce comptage visible : chacune contient exactement deux x, un y et un z.

Contrôle : on choisit d’abord les deux places des x de 6 façons, puis la place du y parmi les 2 places restantes. Le produit 6 × 2 redonne exactement 12.

En algèbre, le théorème donne directement un terme précis d’un développement. Pour x²yz dans (x + y + z)⁴, on calcule $\frac{4!}{2!1!1!}\backslash frac\{4!\}\{2!\backslash ,1!\backslash ,1!\}$ au lieu de multiplier quatre parenthèses entières. Si la somme ne contient que deux termes, le binôme de Newton est la forme plus simple à employer.

En combinatoire, le coefficient multinomial compte une répartition en plusieurs groupes de tailles fixées. Pour deux x, un y et un z placés sur quatre positions, il donne 12 arrangements. L’énumération directe reste adaptée aux très petits cas ; la formule devient préférable dès que la liste est longue.

Multinôme et binôme de Newton. Le critère est le nombre de termes dans la somme. (x + y)⁴ relève du binôme ; (x + y + z)⁴ exige la version multinomiale. Le binôme est donc le cas k = 2, et non un théorème concurrent.

Coefficient multinomial et monôme. Le coefficient est le nombre 12 obtenu par $\frac{4!}{2!1!1!}\backslash frac\{4!\}\{2!\backslash ,1!\backslash ,1!\}$, tandis que le monôme est x²yz. Dans le développement, ils forment ensemble le terme 12x²yz.

Exposant nul. Pour n = 0, le seul multi-indice est (0, …, 0) et son coefficient vaut 1. Dans l’identité polynomiale, le développement se réduit donc au terme constant 1.

Termes non commutatifs. Regrouper tous les ordres sous un même monôme devient faux si xy peut différer de yx. Le symptôme est que deux suites comptées ensemble donnent des produits distincts. Il faut alors conserver les mots ordonnés au lieu d’appliquer directement le coefficient multinomial.

Exposant hors des entiers naturels. La somme finie indexée par n₁ + ··· + n_k = n suppose n entier et positif ou nul. Pour un exposant négatif ou non entier, cette formule factorielle finie n’est pas applicable telle quelle.

Le binôme de Newton permet d’étudier en détail le cas de deux termes et de retrouver les coefficients binomiaux.

L’analyse combinatoire replace le comptage des répartitions et des arrangements dans son cadre général.