formule d'Al-Karaji

Au Xe siècle, Al-Karaji rassemble dans ses traités d’algèbre des régularités que l’on peut vérifier sur de petits nombres. Avec les quatre premiers entiers, 1 + 2 + 3 + 4 donne 10. Le carré de 10 vaut 100, tout comme 1³ + 2³ + 3³ + 4³.

Son nom est ainsi associé à plusieurs règles, et non à une formule unique : une identité sur les sommes de cubes, une loi de calcul sur les puissances et des développements de puissances d’une somme.

L’expression « formule d’Al-Karaji » renvoie à un ensemble de résultats algébriques attribués à Al-Karaji. Pour une même base notée x et deux exposants entiers naturels notés n et m, lorsque toutes les puissances écrites sont définies — en particulier, si x = 0, n et m doivent être strictement positifs —, la multiplication de deux puissances additionne les exposants : $x^n\cdot x^m=x^{n+m}x^n\; \backslash cdot\; x^m=x^\{n+m\}$.

Une autre identité concerne les n premiers entiers, où n est un entier naturel positif et k l’entier parcouru dans la somme : Autrement dit, le carré de leur somme égale la somme de leurs cubes. La source indique qu’Al-Karaji vérifie ce résultat par un argument géométrique pour les valeurs de n allant de 1 à 10.

On lui attribue enfin les développements de la puissance d’une somme (a + b)ⁿ pour n égal à 3, 4 et 5. Ces cas particuliers préfigurent le binôme de Newton, qui donne une écriture générale pour tout exposant entier naturel non négatif.

Soit n un entier naturel positif. Si l’on additionne les entiers de 1 à n, puis que l’on élève cette somme au carré, on obtient la somme des cubes de ces mêmes entiers : ${(1+2+\cdots +n)}^2=1^3+2^3+\cdots +n^3\backslash left(1+2+\backslash cdots+n\backslash right)^2=1^3+2^3+\backslash cdots+n^3$.

Pour les puissances d’une même base x, lorsque toutes les puissances écrites sont définies — en particulier, si x = 0, les exposants entiers naturels n et m doivent être strictement positifs —, les exposants s’additionnent lors d’une multiplication : $x^n\cdot x^m=x^{n+m}x^n\; \backslash cdot\; x^m=x^\{n+m\}$.

L’identité sur les cubes demande un entier naturel positif n et porte exactement sur tous les entiers consécutifs de 1 à n. Le même indice et la même borne doivent apparaître dans les deux sommes. Elle fournit une égalité exacte, sans approximation.

La loi des exposants s’applique à une multiplication de puissances d’une même base et, dans l’énoncé historique retenu ici, à des exposants entiers naturels. Toutes les puissances écrites doivent être définies : si la convention choisie inclut 0 parmi les entiers naturels, le cas 0⁰ demande un traitement séparé. Avec 2³ · 3², les bases diffèrent : on ne peut pas additionner 3 et 2. Il faut alors calculer séparément les deux puissances ou transformer l’expression par une autre propriété justifiée.

Prenons les quatre premiers entiers. La borne est n = 4 et les nombres concernés sont 1, 2, 3 et 4. Nous allons comparer deux chemins : élever leur somme au carré, puis additionner leurs cubes. Les mêmes quatre données doivent être conservées d’un chemin à l’autre.

1. Additionnons les quatre entiers : 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

2. Élevons cette somme au carré : 10² = 100.

3. Calculons séparément les cubes : 1³ = 1, 2³ = 8, 3³ = 27 et 4³ = 64.

4. Additionnons-les : 1 + 8 + 27 + 64 = 100.

Les deux chemins donnent exactement 100 : l’identité est donc vérifiée pour n = 4. Le contrôle consiste à refaire chaque cube, puis à vérifier que leur total coïncide avec le carré de 10. La figure compare les deux calculs à une même échelle ; elle ne remplace pas la vérification numérique.

Pour simplifier un produit comme 5² · 5³, on reconnaît la même base et l’on additionne les exposants : le résultat est 5⁵. Si les bases diffèrent, on calcule chaque puissance séparément.

Pour obtenir rapidement la somme des n premiers cubes, on additionne d’abord les entiers de 1 à n, puis on élève le total au carré. Une somme de cubes portant sur des entiers non consécutifs peut se calculer terme à terme ou, selon les entiers concernés, par différence de sommes consécutives.

Pour lire un texte historique, on distingue le cas effectivement traité de sa généralisation moderne. Ici, les développements attribués à Al-Karaji concernent les exposants 3, 4 et 5 ; pour tout exposant entier naturel non négatif, on consulte la formule générale du binôme.

La formule d’Al-Karaji ne se réduit pas au binôme de Newton. Les développements pour les exposants 3, 4 et 5 en sont des préfigurations ; la formule du binôme fournit, elle, le développement général de (a + b)ⁿ pour tout exposant entier naturel non négatif.

Il faut aussi distinguer la somme des cubes du cube d’une somme. Pour 1, 2, 3 et 4, l’identité compare 1³ + 2³ + 3³ + 4³ au carré de 1 + 2 + 3 + 4, et non à son cube.

La source distingue une identité générale et la portée de la vérification historique rapportée. Elle énonce la relation pour les n premiers entiers, mais décrit l’argument géométrique d’Al-Karaji seulement pour n allant de 1 à 10. Il ne faut donc pas présenter cette vérification limitée comme une preuve historique explicitement donnée pour toute valeur de n.

Dans la loi des puissances, « même base » est une condition décisive. L’écriture 2³ · 3² ne devient pas 6⁵ : ce résultat serait contredit par 8 · 9 = 72, alors que 6⁵ = 7 776.

Le singulier « formule d’Al-Karaji » peut masquer plusieurs contributions. Avant tout calcul, il faut repérer si le contexte vise les puissances d’une même base, la somme des cubes ou les premiers développements d’une puissance de (a + b).

La fiche Al-Karaji replace ces résultats dans le parcours du mathématicien et ses travaux d’algèbre.

La somme des n premiers cubes développe l’identité et sa structure propre.

Le triangle de Pascal rend visibles les coefficients qui interviennent dans les puissances d’une somme.

Le binôme de Newton généralise, à tout exposant entier naturel non négatif, les développements attribués à Al-Karaji pour les exposants 3, 4 et 5.