ArithmétiqueNotion · Glossaire
somme des n premiers cubes
La somme des n premiers cubes entiers est égale au carré de la somme des n premiers entiers naturels non nuls. On a l'identité : 1³ + 2³ + ⋯ + n³ = [n(n + 1) / 2]² = (1 + 2 + ⋯ + n)². Cette égalité est souvent désignée sous le nom de théorème de Nicomaque, du nom du mathématicien grec Nicomaque de Gérase qui l'aurait énoncée. Elle a été étudiée indépendamment par plusieurs mathématiciens à travers les âges. Parmi les nombreuses démonstrations existantes, l'une exploite le développement de (k + 1)⁴ : en faisant varier k de 1 à n, puis en sommant membre à membre les égalités obtenues et en simplifiant, on retrouve la formule. On attribue également à Nilakantha Somayaji (mathématicien indien, vers 1500) une élégante preuve visuelle de cette identité.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la somme des premiers cubes au carré de la somme des premiers entiers.
- Calculer et contrôler l’identité pour n = 4.
- Distinguer le théorème de Nicomaque du cube d’une somme et d’une somme de deux cubes.
- Repérer les erreurs de domaine, d’indice et de carré extérieur.
- Situer les attributions à Nicomaque de Gérase et à Nilakantha Somayaji présentes dans la source.
En clair
Prenez les quatre premiers entiers : 1, 2, 3 et 4. Leurs cubes valent 1, 8, 27 et 64 ; leur somme vaut 100. Additionnez maintenant les nombres de départ : vous obtenez 10, dont le carré vaut aussi 100. Ce n’est pas une coïncidence propre à ces quatre nombres. Pour tout entier n strictement positif, la somme des cubes des n entiers consécutifs pris à partir de 1 égale le carré de leur somme.
Définition
Soit n un entier strictement positif. La somme des n premiers cubes additionne les cubes des entiers consécutifs de 1 à n. Elle est donnée par l’identité . Le nombre n(n + 1) / 2 est la somme des n premiers entiers ; la somme des cubes est donc le carré de cette somme.
Cette égalité est souvent appelée théorème de Nicomaque, en référence au mathématicien grec Nicomaque de Gérase, qui l’aurait énoncée. Elle a néanmoins été étudiée indépendamment par plusieurs mathématiciens à travers les âges. Une preuve visuelle de l’identité est également attribuée au mathématicien indien Nilakantha Somayaji, vers 1500.
Parmi les démonstrations algébriques possibles, l’une développe la quatrième puissance de k + 1, où k parcourt les entiers de 1 à n. La sommation membre à membre fait apparaître des termes qui se simplifient et conduit à la formule. L’identité s’applique ici à une suite complète d’entiers consécutifs commençant par 1.
Un exemple, pas à pas
Calculons la somme des cubes jusqu’à 4 et contrôlons-la par la somme des entiers.
Données :
• le dernier entier est 4 ;
• les quatre entiers sont 1, 2, 3 et 4 ;
• l’exposant de chaque terme est 3.
Données :
• le dernier entier est 4 ;
• les quatre entiers sont 1, 2, 3 et 4 ;
• l’exposant de chaque terme est 3.
1. Calculer chaque cube : 13 = 1, 23 = 8, 33 = 27 et 43 = 64.
2. Additionner ces résultats : 1 + 8 + 27 + 64 = 100.
3. Additionner les entiers de départ : 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
4. Élever cette somme au carré : 102 = 100.
2. Additionner ces résultats : 1 + 8 + 27 + 64 = 100.
3. Additionner les entiers de départ : 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
4. Élever cette somme au carré : 102 = 100.
Les deux calculs donnent donc le même entier, 100. Le contrôle par la formule fermée reprend n = 4 : . On peut le refaire sans recalculer les quatre cubes : le produit 4 × 5 vaut 20, sa moitié vaut 10, puis son carré vaut 100. La figure matérialise les 100 unités obtenues de deux façons.
En pratique
Pour additionner 13 + 23 + ⋯ + n3, la formule fermée évite de calculer chaque cube. Elle est préférable à l’addition terme par terme lorsque la liste commence à 1, ne comporte aucun trou et se termine à n.
Pour contrôler un résultat numérique, calculez séparément la somme 1 + 2 + ⋯ + n, puis élevez-la au carré. Avec n = 4, retrouver 100 par ces deux chemins permet de repérer une erreur dans un cube ou dans l’addition.
Si la série commence après 1, la formule ne s’emploie pas directement. Pour 23 + 33 + 43, on calcule plutôt la somme jusqu’à 4, puis on retranche 13 : le résultat est 99.
À ne pas confondre
Somme des cubes et cube de la somme. L’identité fait intervenir le carré de 1 + 2 + ⋯ + n, pas son cube. Pour n = 2, 13 + 23 vaut 9, tandis que (1 + 2)3 vaut 27.
Somme des cubes et nombre triangulaire. La somme 1 + 2 + ⋯ + n est le nombre triangulaire de rang n ; la somme des cubes est son carré. Pour n = 4, ces deux valeurs sont donc 10 et 100, et non deux écritures du même nombre.
Somme des premiers cubes et somme de deux cubes. Une expression a3 + b3 porte sur deux nombres quelconques. La formule de Nicomaque exige au contraire tous les entiers consécutifs de 1 à n ; 13 + 43 ne remplit pas ce critère.
Limites et pièges
Valeur de n. Dans l’énoncé, n est un entier strictement positif. Avec la convention d’une somme vide, n = 0 donne aussi 0 des deux côtés, mais ce prolongement ne décrit plus une somme d’entiers naturels non nuls. Une valeur négative ou non entière n’indique pas un nombre de termes.
Premier terme absent. Remplacer 13 + 23 + 33 + 43 par 23 + 33 + 43 fait passer le résultat de 100 à 99. Il faut retrancher la somme du préfixe omis au lieu d’appliquer directement la formule avec n = 4.
Nombre de termes mal lu. Dans 13 + ⋯ + 53, le dernier entier et le nombre de termes valent tous deux 5. Prendre n = 4 produit 100 au lieu de la valeur correcte 225 ; il faut compter la suite complète jusqu’au dernier terme inclus.
Carré extérieur oublié. La quantité n(n + 1) / 2 doit être élevée au carré. Pour n = 4, s’arrêter à 4 × 5 / 2 donne 10, qui est seulement la somme des entiers ; le résultat recherché est 102 = 100.
Pour aller plus loin
Le nombre triangulaire donne un nom à la somme 1 + 2 + ⋯ + n dont le carré produit la somme des cubes.
Le Carré parfait précise pourquoi toute somme des premiers cubes possède une racine carrée entière, égale à 1 + 2 + ⋯ + n.
L’article Identités remarquables en classe prolonge la réflexion sur les égalités algébriques et les façons de les faire apparaître.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres