Carré parfait

Disposez 36 carreaux en un carré : vous obtenez 6 lignes de 6 carreaux, sans reste. Le nombre 36 est donc un carré parfait, car il provient de la multiplication d’un entier par lui-même : 6 × 6. La grille rend cette idée visible, tandis que la liste 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49… la prolonge. Chaque terme s’obtient en prenant successivement 0 × 0, 1 × 1, 2 × 2, et ainsi de suite.

Un carré parfait est un entier naturel qui est le carré d’un entier naturel. Si la lettre m désigne l’entier étudié et la lettre n un entier naturel, la définition s’écrit $m=n^{2}m=n^2$. Autrement dit, il doit exister au moins un entier naturel n dont le produit par lui-même vaut m. Avec la convention de la source, 0 appartient aux entiers naturels et constitue le premier carré parfait, puisque 0 = 0².

Deux critères équivalents permettent de reconnaître ces nombres. La racine carrée de m doit être un entier. Pour un entier strictement positif écrit comme produit de nombres premiers, chaque exposant doit aussi être pair. Si les lettres p₁ à p_k désignent des nombres premiers distincts et les lettres a₁ à a_k des entiers naturels, cette forme est $m=p_1^{2a_1}\cdots p_k^{2a_k}m=p\_1^\{2a\_1\}\backslash cdots\; p\_k^\{2a\_k\}$. Pour m = 1, on prend k = 0 et l’on convient que le produit vide vaut 1. Les exposants pairs permettent de regrouper tous les facteurs en deux produits identiques.

Dans un anneau plus général, on emploie le mot carré pour un élément qui est le carré d’un autre élément de cet anneau. Cette extension conserve la relation « un élément multiplié par lui-même », mais les critères fondés sur l’ordre naturel, la racine carrée réelle ou la décomposition en facteurs premiers ne s’y transportent pas automatiquement.

On cherche à décider si 36 est un carré parfait. Les données sont l’entier naturel 36 et sa décomposition en facteurs premiers 2² × 3². Il faut obtenir un entier dont le carré vaut 36, puis contrôler que les exposants de la décomposition sont pairs.

1. Calculez le carré de 6 : $6^2=6\times 6=366^2=6\backslash times6=36$.
2. Prenez la racine carrée de 36 : $\sqrt{36}=6\backslash sqrt\{36\}=6$.
3. Lisez les exposants dans $36=2^2\times 3^{2}36=2^2\backslash times3^2$ : ils valent 2 et 2, donc ils sont pairs.
4. Regroupez les facteurs en deux produits égaux : $(2\times 3)(2\times 3)=6\times 6(2\backslash times3)(2\backslash times3)=6\backslash times6$.

Les trois contrôles concordent : 36 est le carré parfait de racine 6. Pour refaire la vérification sans la décomposition, il suffit de multiplier 6 par 6 et de retrouver exactement 36. La grille de 6 lignes et 6 colonnes donne le même contrôle en comptant ses 36 cases.

Pour tester un entier lorsque sa racine carrée se calcule directement, on regarde si cette racine est entière. C’est le contrôle le plus court. Si la valeur obtenue comporte une partie décimale, l’entier n’est pas un carré parfait.

Lorsque la décomposition en facteurs premiers est déjà connue, on vérifie plutôt la parité de chaque exposant. Cette méthode évite de chercher la racine : un seul exposant impair suffit à écarter le nombre, tandis que des exposants tous pairs permettent de reconstituer sa racine en divisant chacun d’eux par deux.

Pour dresser une liste jusqu’à une borne donnée, on choisit successivement les entiers naturels, on calcule leur carré et on s’arrête dès que le résultat dépasse la borne. Cette construction est préférable à des tests séparés, car elle ne peut omettre aucun carré parfait dans l’intervalle parcouru.

Un carré parfait n’est pas la même chose que la fonction racine carrée. Cette fonction s’applique aux réels positifs ou nuls, mais son résultat n’est pas toujours entier. Ainsi, la racine carrée de 2 existe comme nombre réel sans que 2 soit un carré parfait.

Un carré parfait ne se confond pas non plus avec un nombre premier. Le nombre 49 est un carré parfait puisque 49 = 7², mais il n’est pas premier puisqu’il est divisible par 7. Inversement, 7 est premier et sa racine carrée n’est pas un entier : ce n’est donc pas un carré parfait.

Le cas charnière est 0. Avec la convention retenue ici, 0 est naturel et 0 = 0² : c’est donc un carré parfait. En revanche, 0 n’a pas de décomposition en facteurs premiers. Le critère « tous les exposants sont pairs » doit être appliqué aux entiers strictement positifs, puis 0 doit être traité séparément.

Aucun entier négatif n’est le carré d’un entier naturel, car le produit d’un entier par lui-même est positif ou nul. Une écriture obtenue dans un autre ensemble de nombres ne change pas ce verdict : il faut conserver le domaine des entiers naturels lorsque l’on parle de carré parfait.

Dans un anneau général, dire qu’un élément est un carré signifie seulement qu’il existe un autre élément de cet anneau dont il est le carré. Il ne faut alors employer ni la liste des carrés parfaits naturels, ni le test de la racine carrée entière, ni le critère des exposants pairs sans vérifier que le cadre considéré les autorise.

Entiers naturels — Préciser l’ensemble auquel appartiennent les carrés parfaits et la convention qui inclut 0.

décomposition en facteurs premiers — Lire les exposants d’un entier et appliquer le critère de parité qui caractérise les carrés parfaits positifs.

fonction racine carrée — Situer le test de la racine entière dans le cadre plus large des réels positifs ou nuls.