ArithmétiqueObjet mathématique · Glossaire
Möbius (fonction de)
La fonction de Möbius μ est une fonction arithmétique définie sur les entiers positifs. Elle vaut 0 si n possède un facteur carré, 1 si n est le produit d'un nombre pair de nombres premiers distincts, et -1 si n est le produit d'un nombre impair de nombres premiers distincts. La fonction de Möbius est multiplicative et intervient dans la formule d'inversion de Möbius en théorie des nombres. Son rôle est analogue à celui du signe des permutations en combinatoire.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Calculer μ(n) à partir de la décomposition en facteurs premiers.
- Traiter correctement le cas n = 1 et les entiers divisibles par un carré.
- Appliquer la multiplicativité seulement à des entiers premiers entre eux.
- Relier la fonction à la formule d'inversion portant sur les diviseurs.
En clair
Prenez le nombre 30 et décomposez-le en facteurs premiers : 30 = 2 × 3 × 5. Aucun facteur n'est répété, et il y en a trois. La fonction de Möbius associe alors à 30 la valeur −1, parce que trois est impair.
Cette fonction agit comme un petit code à trois valeurs. Une répétition au carré donne 0 ; sans répétition, un nombre pair de facteurs distincts donne +1 et un nombre impair donne −1.
Définition
La fonction de Möbius, notée par la lettre grecque μ, est une fonction arithmétique définie sur les entiers positifs. Pour un entier positif n, on examine sa décomposition en nombres premiers. Si le carré d'au moins un nombre premier divise n, alors μ(n) vaut 0. Sinon, n est le produit de k nombres premiers distincts et μ(n) vaut (−1)k. Le cas n = 1 correspond au produit vide : k vaut 0 et μ(1) vaut 1.
Avec ces notations, la définition complète s'écrit :
La fonction est multiplicative : pour deux entiers positifs a et b premiers entre eux, μ(ab) = μ(a)μ(b). Cette propriété n'affirme rien lorsque a et b ont un facteur commun. Comme le signe d'une permutation, le signe de μ(n) traduit une parité ; contrairement à une signature, μ(n) peut aussi s'annuler lorsqu'un facteur premier est répété.
De quoi c'est fait
Le calcul repose sur quatre éléments. L'entier positif n est l'entrée. Sa décomposition en facteurs premiers révèle les nombres premiers présents et leurs exposants. Le test du facteur carré vérifie si l'un de ces exposants atteint au moins 2 ; dans ce cas, la valeur est immédiatement 0. Le compteur k dénombre les facteurs premiers distincts lorsque tous les exposants valent 1 ; sa parité fixe alors le signe.
La décomposition alimente donc d'abord le test du carré, puis seulement le compteur. L'ordre des facteurs et leur taille ne changent pas le résultat. Ces données suffisent à calculer μ(n) : pour 30 = 2 × 3 × 5, les trois facteurs sont distincts, donc k = 3 et μ(30) = −1.
Un exemple, pas à pas
Calculons μ(30). Le schéma associé rend visible la chaîne de décision, de la factorisation jusqu'au signe.
Données.
Entier étudié : n = 30.
Décomposition première : 30 = 2 × 3 × 5.
Facteurs premiers distincts : 2, 3 et 5.
Entier étudié : n = 30.
Décomposition première : 30 = 2 × 3 × 5.
Facteurs premiers distincts : 2, 3 et 5.
Étape 1. Aucun exposant de la décomposition n'atteint 2. Aucun carré de nombre premier ne divise donc 30, et la valeur n'est pas 0.
Étape 2. Comptons les facteurs premiers distincts : il y en a k = 3. Ce nombre est impair.
Étape 3. La règle du signe donne : .
Contrôle. Les diviseurs positifs de 30 sont 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30. Leurs valeurs de Möbius sont respectivement +1, −1, −1, −1, +1, +1, +1 et −1. Leur somme vaut 0, comme l'exige l'identité pour tout entier n supérieur à 1.
En pratique
Pour calculer μ(n) sur un entier isolé, on factorise n. Dès qu'un exposant atteint 2, on s'arrête avec 0 ; sinon, on compte les facteurs premiers. Pour une longue liste d'entiers, un crible est préférable à des factorisations indépendantes, car il repère ensemble les multiples des nombres premiers et de leurs carrés.
Dans une somme portant sur tous les diviseurs d'un entier, la fonction intervient pour annuler un cumul. Si une fonction G vérifie , la formule d'inversion permet de retrouver la fonction f par . Une soustraction directe convient plutôt quand quelques valeurs seulement sont en jeu.
Pour repérer les entiers sans facteur carré, on regarde la valeur absolue de μ(n). Elle vaut 1 exactement pour ces entiers et 0 dans les autres cas ; ce critère évite de distinguer les signes lorsque seule l'absence de carré importe.
À ne pas confondre
Fonction de Möbius et ruban de Möbius. La première associe 0, +1 ou −1 à un entier positif ; le second est une surface. Pour n = 30 et la question « quelle valeur obtient-on ? », il s'agit de la fonction arithmétique.
Fonction de Möbius et formule d'inversion de Möbius. La fonction μ fournit les coefficients ; la formule est la règle qui les emploie pour retrouver une fonction à partir de sommes sur ses diviseurs. Calculer μ(30) relève de la fonction, reconstruire f à partir de G relève de l'inversion.
Limites et pièges
Le cas n = 1 suit la convention du produit vide. Aucun nombre premier n'apparaît, donc le compteur vaut 0, qui est pair. Il faut écrire μ(1) = 1 et non 0.
La priorité revient au facteur carré. Le nombre 12 possède deux facteurs premiers distincts, 2 et 3, mais 22 divise 12. Le symptôme est l'exposant 2 dans 12 = 22 × 3 : il faut conclure μ(12) = 0 avant de compter la parité.
Multiplicative ne signifie pas complètement multiplicative. La relation μ(ab) = μ(a)μ(b) exige que a et b soient premiers entre eux. Avec a = b = 2, le produit des valeurs vaut 1, tandis que μ(4) = 0 ; il faut donc vérifier l'absence de facteur commun avant d'appliquer la relation.
Le domaine usuel commence à 1. Si une convention inclut 0 parmi les entiers naturels, elle ne donne pas pour autant une valeur μ(0). Il faut préciser « entiers positifs » ou « naturels non nuls » avant tout calcul.
Pour aller plus loin
La formule d'inversion de Möbius montre comment les coefficients μ(d) défont une somme construite sur les diviseurs d'un entier.
La fiche sur le nombre premier approfondit les briques dont la décomposition de n détermine la valeur de μ(n).
Le ruban de Möbius permet d'explorer une autre notion portant le même nom, cette fois en géométrie et en topologie.
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