ArithmétiqueFormule · Glossaire
Möbius (formule d'inversion de)
La fonction de Möbius μ est une fonction arithmétique définie sur les entiers strictement positifs. Elle vaut 0 si n possède un facteur carré, 1 si n est le produit d'un nombre pair de nombres premiers distincts, et -1 si n est le produit d'un nombre impair de nombres premiers distincts. La fonction de Möbius est multiplicative et intervient dans la formule d'inversion de Möbius en théorie des nombres. Son rôle est analogue à celui du signe des permutations en combinatoire.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Déterminer μ(n) à partir de la factorisation de n.
- Reconnaître la relation de somme sur les diviseurs qui peut être inversée.
- Reproduire l'inversion pour n = 12 et contrôler le résultat par le cumul direct.
- Éviter les erreurs liées à n = 1, aux facteurs carrés et à la multiplicativité.
En clair
Imaginons qu'un total G(n) rassemble les contributions F(d) de tous les diviseurs d'un entier n. Pour n = 12, ce total mélange les contributions associées à 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Comment retrouver la seule contribution F(12) ?
La fonction de Möbius fournit les coefficients qui défont ce cumul. Elle attribue 0 aux entiers contenant un facteur carré, et alterne entre −1 et 1 pour les produits de nombres premiers distincts. En additionnant les totaux avec ces coefficients, les contributions déjà comptées s'annulent et celle de 12 demeure.
Définition
La fonction de Möbius, notée par la lettre grecque μ, est une fonction arithmétique sur les entiers strictement positifs. Sa valeur en 1 est μ(1) = 1. Pour un entier n supérieur à 1, on examine sa décomposition en facteurs premiers. Si le carré d'un nombre premier divise n, alors μ(n) = 0. Sinon, si n est le produit de k nombres premiers distincts, alors μ(n) vaut (−1)k : 1 lorsque k est pair et −1 lorsqu'il est impair.
Cette fonction est multiplicative au sens arithmétique : pour deux entiers positifs a et b premiers entre eux, μ(ab) = μ(a)μ(b). L'hypothèse « premiers entre eux » est indispensable.
La formule d'inversion utilise μ pour retrouver une fonction F à partir d'une fonction G qui cumule les valeurs de F sur les diviseurs. Elle joue ainsi, dans le treillis des diviseurs, un rôle d'annulation comparable à celui de signes alternés en combinatoire. La fonction μ et la formule d'inversion portent le même nom, mais la première fournit les coefficients de la seconde.
Le principe
Soient F et G deux fonctions définies sur les entiers strictement positifs, à valeurs numériques. Pour chaque entier positif n, supposons que G(n) soit la somme des valeurs F(d), où d parcourt les diviseurs positifs de n :
Alors la contribution propre F(n) se récupère par la formule d'inversion de Möbius :
Une forme équivalente est obtenue en échangeant d et n/d dans la somme.
Quand l'utiliser
La formule s'applique aux entiers strictement positifs et à une relation portant sur tous les diviseurs positifs de n. Il faut connaître G(m) pour les diviseurs m de n, puis employer la même convention de sommation dans la relation directe et dans l'inversion. Les sommes sont finies, car un entier possède un nombre fini de diviseurs.
Contre-cas : si G(n) additionne seulement les diviseurs propres, donc exclut n, l'hypothèse G(n) = ∑d|n F(d) n'est plus satisfaite. La formule affichée ne s'applique pas telle quelle. Il faut d'abord réécrire le cumul en incluant le terme manquant, ou établir l'inversion correspondant exactement à cette autre relation.
Un exemple, pas à pas
Prenons F(n) = n. La fonction cumulée G(n) est alors la somme des diviseurs positifs de n. Pour retrouver F(12), les données nécessaires sont G(1) = 1, G(2) = 3, G(3) = 4, G(4) = 7, G(6) = 12 et G(12) = 28.
1. Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Les coefficients associés sont μ(1) = 1, μ(2) = −1, μ(3) = −1, μ(4) = 0, μ(6) = 1 et μ(12) = 0. Les zéros viennent des facteurs carrés 4 qui divisent 4 et 12.
2. On applique la formule en associant à chaque diviseur d la valeur G(12/d) :
3. Le calcul donne exactement 28 − 12 − 7 + 0 + 3 + 0 = 12. On retrouve donc F(12) = 12.
Le contrôle consiste à refaire le cumul direct : F(1) + F(2) + F(3) + F(4) + F(6) + F(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28, ce qui redonne bien G(12). La figure rend visibles les six termes conservés ou annulés par μ.
En pratique
En théorie des nombres, un calcul fournit parfois un total sur tous les diviseurs alors que l'on cherche une contribution exacte. L'inversion de Möbius est adaptée lorsque le cumul a précisément la forme d'une somme sur les diviseurs. Si les poids du cumul sont différents, il faut employer l'inverse correspondant à ces poids.
Pour calculer μ(n), on factorise n. Dès qu'un facteur premier apparaît au moins deux fois, le résultat est 0. Sinon, on compte les facteurs premiers distincts : une quantité paire donne 1, une quantité impaire donne −1. Pour de grands entiers, cette voie exige de connaître leur factorisation.
Dans un exercice, le bon réflexe est d'identifier d'abord la relation de cumul. Une somme sur tous les diviseurs appelle la formule classique ; une somme limitée aux diviseurs propres ou portant d'autres coefficients demande une réécriture avant toute inversion.
À ne pas confondre
Fonction de Möbius et formule d'inversion de Möbius. La fonction μ associe un coefficient −1, 0 ou 1 à chaque entier positif. La formule est l'identité qui emploie ces coefficients pour défaire une somme sur les diviseurs. Calculer μ(12) et retrouver F(12) à partir de G sont donc deux opérations différentes.
Formule d'inversion et ruban de Möbius. Le ruban est une surface à un seul bord, étudiée en géométrie et en topologie. Ici, le critère testable est la présence d'entiers, de diviseurs et de la fonction μ : il s'agit alors de la notion arithmétique, sans lien opératoire avec la surface.
Limites et pièges
Le cas n = 1. L'entier 1 n'a aucun facteur premier, mais μ(1) vaut 1. On peut le voir comme le produit vide de zéro facteur premier, et zéro est pair. Oublier ce cas empêche l'inversion de restituer le terme G(n).
Un facteur carré annule le terme, pas toute la somme. Pour n = 12, μ(12) = 0 puisque 4 divise 12. Cependant l'inversion en 12 comporte aussi μ(1), μ(2), μ(3), μ(4) et μ(6) ; plusieurs de ces coefficients restent non nuls.
Multiplicative ne signifie pas complètement multiplicative. L'égalité μ(ab) = μ(a)μ(b) exige que a et b soient premiers entre eux. Avec a = b = 2, on a μ(4) = 0 tandis que μ(2)μ(2) = 1. Il faut donc vérifier le plus grand commun diviseur avant d'utiliser la propriété.
Le sens du quotient compte. Dans la forme choisie, le coefficient est μ(d) et la valeur cumulée est G(n/d). Écrire μ(d)G(d) sans changement de variable ne donne généralement pas l'inverse recherché. Il faut conserver une paire de facteurs dont le produit vaut n.
Pour aller plus loin
La fiche fonction arithmétique replace la fonction de Möbius parmi les fonctions définies sur les entiers positifs et précise le cadre de leurs opérations.
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