formule d'inversion de Pascal

Imaginez une suite cachée, 1, 2, 3, 4. À chaque rang, on mélange tous les nombres déjà vus avec les coefficients de la ligne correspondante du triangle de Pascal. On obtient alors 1, 3, 8, 20.

La formule d'inversion de Pascal défait exactement ce mélange. Elle reprend les mêmes coefficients, mais alterne les signes. À partir de 1, 3, 8, 20, elle retrouve donc les valeurs initiales sans deviner leur motif.

La formule d'inversion de Pascal relie deux suites indexées par les entiers naturels. Notons a_n le terme connu au rang n et b_n le terme que l'on veut isoler. Pour chaque rang, a_n est la somme des termes b_k, du rang 0 au rang n, pondérés par les coefficients binomiaux de la ligne n du triangle de Pascal.

La relation directe et sa relation inverse sont équivalentes :Ici, le coefficient binomial $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)\backslash binom\{n\}\{k\}$ compte les choix de k éléments parmi n. Le facteur de signe vaut alternativement +1 et −1 selon la parité de n − k.

Les termes peuvent appartenir à tout groupe abélien : il faut pouvoir les additionner, prendre leurs opposés et multiplier une valeur par un entier. Aucune division n'intervient. La formule constitue ainsi une inversion binomiale finie à chaque rang, même lorsque les suites sont infinies.

Soient deux suites, notées (a_n) et (b_n), à valeurs dans un groupe abélien. Pour tout entier naturel n, si chaque terme a_n est la transformée binomiale des termes b₀ à b_n, alors chaque terme b_n se récupère par la somme alternée suivante, et réciproquement :Les deux transformations sont donc inverses l'une de l'autre.

La formule s'applique lorsque les deux suites sont indexées à partir de 0 et que la relation directe utilise exactement les coefficients binomiaux $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)\backslash binom\{n\}\{k\}$, pour les indices k compris entre 0 et n. Les valeurs doivent former un groupe abélien : l'addition est associative et commutative, un élément nul et des opposés existent.

À chaque rang n, seules n + 1 valeurs interviennent ; aucune convergence d'une série infinie n'est donc requise. En revanche, si la somme directe porte sur d'autres poids, par exemple seulement 1 au lieu des coefficients binomiaux, cette inversion ne convient pas. Il faut alors déterminer l'inverse propre à cette autre transformation.

Partons des quatre valeurs b₀ = 1, b₁ = 2, b₂ = 3 et b₃ = 4. Leur transformation binomiale donne a₀ = 1, a₁ = 3, a₂ = 8 et a₃ = 20. Retrouvons le dernier terme caché.

1. Au rang 3, les coefficients binomiaux sont 1, 3, 3, 1.
2. Les signes de la somme inverse sont −, +, −, +.
3. On associe ces coefficients et ces signes aux quatre valeurs connues :4. On remplace les termes par 1, 3, 8 et 20 :Le terme retrouvé est donc b₃ = 4.

Le schéma met en regard le calcul direct et son annulation alternée. Pour contrôler le résultat, on réinjecte 4 dans la relation directe : 1 + 3 × 2 + 3 × 3 + 4 = 20, ce qui redonne bien a₃.

En combinatoire énumérative, une suite a_n peut compter des objets après avoir agrégé des sous-structures choisies parmi n éléments. Lorsque cette agrégation porte les coefficients du triangle de Pascal, l'inversion isole la contribution b_n.

Pour calculer un terme, on écrit d'abord la ligne n du triangle de Pascal, puis on alterne les signes en terminant toujours par un signe positif devant a_n. Ce repère évite de mémoriser les signes terme par terme.

Avec les fonctions génératrices exponentielles, la transformation directe correspond à une multiplication par l'exponentielle. La formule inverse correspond alors à la multiplication par son inverse. Cette voie est utile pour traiter toute la suite à la fois ; le calcul fini reste préférable pour quelques rangs.

La formule d'inversion de Pascal n'est pas la relation de Pascal. La relation de Pascal construit un coefficient binomial à partir de deux coefficients voisins ; l'inversion récupère une suite entière à partir de sa transformée binomiale. Calculer une ligne du triangle relève de la première, retrouver b₃ à partir de 1, 3, 8, 20 relève de la seconde.

Elle ne se confond pas non plus avec la formule arithmétique d'inversion de Möbius. Celle-ci utilise les diviseurs d'un entier et la fonction de Möbius ; l'inversion de Pascal utilise les indices de 0 à n et les coefficients binomiaux. Le type de somme initiale permet de choisir la bonne formule.

Au rang 0, la formule ne produit pas une somme vide : elle donne a₀ = b₀, car le coefficient binomial vaut 1 et le signe est positif. Ce cas charnière fixe l'indexation et doit être conservé.

Le signe commence par (−1)ⁿ devant a₀ et finit par +1 devant a_n. Commencer systématiquement par un signe moins donne donc une erreur dès que n est pair ; au rang 2, les signes corrects sont +, −, +.

La commutativité de l'addition n'est pas décorative. Pour des valeurs munies seulement d'une opération non commutative, réordonner les contributions n'est plus neutre et l'énoncé en groupe abélien ne s'applique pas tel quel. Il faut préciser une structure et un ordre de calcul adaptés.

Le triangle de Pascal explique l'origine et l'organisation des coefficients utilisés dans les deux sommes.

La fiche Fonction génératrice montre comment encoder une suite dans une série formelle et étudier une transformation globalement.

La Möbius (formule d'inversion de) replace le même geste — défaire une sommation — dans un cadre d'incidence plus général.