Probabilités et statistiquesObjet mathématique · Glossaire
Fonction génératrice
La fonction génératrice d'une suite de nombres réels est la série formelle dont les coefficients sont les termes de la suite ; lorsque son rayon de convergence est positif, elle définit aussi une série entière. Pour une variable aléatoire X à valeurs entières non négatives, la fonction génératrice est définie par G(t) = E(t^X) = somme des P(X=k) * t^k. Elle encode toutes les informations sur la distribution et permet de calculer les moments en dérivant. Les fonctions génératrices simplifient l'étude des sommes de variables aléatoires indépendantes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire les probabilités comme coefficients d'une série entière.
- Construire la fonction génératrice du nombre de piles en deux lancers.
- Extraire l'espérance et le second moment à partir des dérivées en 1.
- Utiliser le produit pour une somme de variables indépendantes.
- Distinguer fonctions génératrices des probabilités, des moments, ordinaire et exponentielle.
En clair
On lance deux pièces équilibrées et l'on compte les piles. Obtenir 0, 1 ou 2 piles a pour probabilités 1/4, 1/2 et 1/4. Une fonction génératrice range ces trois probabilités comme les coefficients d'une même expression : 1/4 + t/2 + t2/4.
La puissance de t indique le nombre de piles, tandis que son coefficient donne la probabilité correspondante. Ce rangement transforme ainsi toute la loi en un objet algébrique que l'on peut évaluer, dériver ou multiplier.
Définition
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans les entiers naturels. Sa fonction génératrice des probabilités, notée GX, associe à une variable t l'espérance de tX. Si pk désigne la probabilité que X vaille k, la définition s'écrit :
Le coefficient de tk restitue donc pk : la série encode toute la loi de X. Pour t compris entre 0 et 1, elle converge toujours, et GX(1) = 1. Lorsque les dérivées en 1 existent, G′X(1) donne l'espérance de X et G″X(1) donne le moment factoriel E[X(X − 1)]. Les moments ordinaires d'ordre supérieur s'en déduisent. Plus généralement, une suite réelle (ak) possède une fonction génératrice ordinaire Σaktk ; ses coefficients ne sont alors pas nécessairement des probabilités.
De quoi c'est fait
Une fonction génératrice réunit quatre éléments. Le support 0, 1, 2, … fournit les exposants de t. La loi fournit les coefficients pk. La variable formelle ou numérique t permet de manipuler la série. Enfin, la somme assemble tous les couples « valeur k, probabilité pk » dans un seul objet.
L'exposant et le coefficient sont indissociables : le terme p2t2 dit à la fois où se trouve la valeur 2 et combien elle pèse. La normalisation de la loi impose aussi que la somme des coefficients vaille 1, donc que GX(1) = 1. Ces données suffisent à reconstruire la distribution et, sous les conditions d'existence requises, à en extraire des moments par dérivation.
Un exemple, pas à pas
Deux pièces équilibrées sont lancées indépendamment. La variable X compte les piles. Les données sont P(X = 0) = 1/4, P(X = 1) = 1/2 et P(X = 2) = 1/4.
1. On place chaque probabilité devant la puissance correspondant au nombre de piles :
2. On contrôle la normalisation : GX(1) = 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1. Le schéma associe chaque coefficient à son nombre de piles et rend ce contrôle visible.
3. On dérive : G′X(t) = 1/2 + t/2. Ainsi, G′X(1) = 1, donc l'espérance est d'un pile.
4. Une dernière vérification part directement de la loi : 0 × 1/4 + 1 × 1/2 + 2 × 1/4 = 1. Elle retrouve exactement le résultat de la dérivée.
En pratique
Pour retrouver une probabilité précise, on lit le coefficient de la puissance voulue. Dans l'exemple, le coefficient de t2 vaut 1/4 : deux piles ont donc une probabilité de 1/4. Une table de probabilités reste préférable si l'on veut seulement consulter quelques valeurs sans calcul algébrique.
Pour calculer une espérance ou une variance, les dérivées regroupent les sommes pondérées. On utilise G′X(1) pour l'espérance, puis G″X(1) + G′X(1) − G′X(1)2 pour la variance, lorsque ces quantités existent.
Pour additionner des variables aléatoires indépendantes à valeurs entières naturelles, on multiplie leurs fonctions génératrices. Chaque pièce a pour fonction (1 + t)/2 ; leur produit donne ((1 + t)/2)2, la fonction obtenue pour le total X. Une convolution directe convient mieux si les variables ne sont pas indépendantes.
À ne pas confondre
Le nom « fonction génératrice » recouvre plusieurs transformations proches. Le type de coefficient et la forme de la série permettent de les distinguer.
Fonction génératrice des probabilités et fonction génératrice des moments
La première emploie tX et ses coefficients sont les probabilités P(X = k). La seconde emploie etX et, lorsqu'elle est finie dans un voisinage de 0, ses dérivées en 0 donnent directement les moments ordinaires. Pour X comptant les piles, 1/4 + t/2 + t2/4 est une fonction génératrice des probabilités, pas une fonction génératrice des moments.
Fonction génératrice ordinaire et exponentielle
Pour une suite (ak), la forme ordinaire utilise les coefficients ak, tandis que la forme exponentielle utilise ak/k!. Dès que le facteur k! apparaît au dénominateur du coefficient, il s'agit de la variante exponentielle et non de la série ordinaire décrite ici.
Limites et pièges
La série et ses dérivées demandent quelques précautions : encoder une loi ne garantit pas que toutes les manipulations soient permises.
Dériver ne donne pas toujours le moment ordinaire
La deuxième dérivée en 1 fournit E[X(X − 1)], et non E[X2]. Le symptôme est un résultat trop petit. Il faut ajouter G′X(1) : E[X2] = G″X(1) + G′X(1). Pour deux pièces, 1/2 + 1 = 3/2.
Le produit exige l'indépendance
L'identité GX+Y(t) = GX(t)GY(t) vaut lorsque X et Y sont indépendantes. Si connaître X change la loi de Y, le produit peut donner de mauvais coefficients ; il faut alors calculer la loi conjointe ou conditionner.
Le bord t = 1 ne garantit pas des dérivées finies
Toute fonction génératrice de probabilités vérifie GX(1) = 1, mais G′X(1) peut être infinie si l'espérance diverge. Avant d'en déduire un moment, il faut donc vérifier son existence, et pas seulement la convergence de la série en 1.
Pour aller plus loin
Ces notions prolongent chacune un aspect précis de la fonction génératrice.
variable aléatoire — Préciser l'objet dont la fonction génératrice encode la loi.
espérance mathématique — Approfondir le premier moment obtenu par dérivation en 1.
loi de Poisson — Étudier une loi discrète classique à l'aide de sa fonction génératrice.
loi binomiale — Généraliser l'exemple de deux essais à un nombre quelconque d'essais indépendants.
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