Moment

Une variable aléatoire peut prendre les valeurs 1, 2 ou 3 avec la même probabilité. Leur moyenne vaut 2 : c’est son premier moment. Si l’on élève d’abord chaque valeur au carré, puis que l’on fait la moyenne, on obtient un autre nombre, le moment d’ordre 2.

Ces nombres résument différents aspects d’une loi. En mesurant plutôt les écarts à la moyenne, le moment centré d’ordre 2 indique la dispersion : il s’agit de la variance.

Soit une variable aléatoire notée X. Pour un entier k positif, son moment d’ordre k est l’espérance de sa puissance k, à condition que X^k soit intégrable, c’est-à-dire que l’espérance de |X|^k soit finie : $m_k=\mathbb{E}[X^k]m\_k=\backslash mathbb\{E\}[X^k]$. Le moment d’ordre 1 est donc l’espérance de X. Le moment d’ordre 2 ne doit pas être confondu avec la variance.

Un moment centré se calcule à partir de l’écart entre X et son espérance. En notant μ cette espérance, le moment centré d’ordre k vaut ${\mu }_k=\mathbb{E}[(X-\mu {)}^k]\backslash mu\_k=\backslash mathbb\{E\}[(X-\backslash mu)^k]$. À l’ordre 2, il est égal à la variance. À l’ordre 1, il vaut 0 dès que l’espérance existe.

La fonction génératrice des moments associe au nombre réel t la quantité $M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]M\_X(t)=\backslash mathbb\{E\}[e^\{tX\}]$. Lorsqu’elle est finie dans un voisinage de 0, ses dérivées en 0 donnent les moments. Sous des conditions adaptées, les moments déterminent alors la loi de X ; cette conclusion n’est pas automatique si l’on connaît seulement une suite de moments finis.

Une variable aléatoire X prend les valeurs 1, 2 et 3, chacune avec la probabilité 1/3. Les données sont donc les trois valeurs possibles et leurs trois probabilités égales. La représentation montre cette répartition uniforme et place la moyenne à la valeur centrale.

1. Calculer le moment d’ordre 1 : $\mathbb{E}[X]=1\times \frac{1}{3}+2\times \frac{1}{3}+3\times \frac{1}{3}=2\backslash mathbb\{E\}[X]=1\backslash times\backslash frac\{1\}\{3\}+2\backslash times\backslash frac\{1\}\{3\}+3\backslash times\backslash frac\{1\}\{3\}=2$.
2. Calculer le moment d’ordre 2 : $\mathbb{E}[X^2]=1^2\times \frac{1}{3}+2^2\times \frac{1}{3}+3^2\times \frac{1}{3}=\frac{14}{3}\backslash mathbb\{E\}[X^2]=1^2\backslash times\backslash frac\{1\}\{3\}+2^2\backslash times\backslash frac\{1\}\{3\}+3^2\backslash times\backslash frac\{1\}\{3\}=\backslash frac\{14\}\{3\}$.
3. Centrer les valeurs autour de la moyenne 2, puis élever les écarts au carré : $\mathbb{E}[(X-2{)}^2]=(-1{)}^2\times \frac{1}{3}+0^2\times \frac{1}{3}+1^2\times \frac{1}{3}=\frac{2}{3}\backslash mathbb\{E\}[(X-2)^2]=(-1)^2\backslash times\backslash frac\{1\}\{3\}+0^2\backslash times\backslash frac\{1\}\{3\}+1^2\backslash times\backslash frac\{1\}\{3\}=\backslash frac\{2\}\{3\}$.
Le moment centré d’ordre 2, donc la variance, vaut 2/3. Le contrôle se refait avec l’identité $\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X{]}^2=\frac{14}{3}-4=\frac{2}{3}\backslash operatorname\{Var\}(X)=\backslash mathbb\{E\}[X^2]-\backslash mathbb\{E\}[X]^2=\backslash frac\{14\}\{3\}-4=\backslash frac\{2\}\{3\}$.

Pour résumer le niveau moyen d’une variable aléatoire, le moment d’ordre 1 fournit l’espérance. Si la question porte plutôt sur l’étalement autour de cette moyenne, le moment centré d’ordre 2 est le choix pertinent.

Pour comparer deux lois ayant la même espérance, on examine leurs moments centrés. Lorsque leurs variances diffèrent, celles-ci permettent de comparer leur dispersion ; des ordres supérieurs apportent d’autres informations sur leur forme.

Pour retrouver plusieurs moments à la fois, la fonction génératrice est utile lorsqu’elle existe autour de 0. Si elle n’y est pas finie, les moments disponibles doivent être étudiés directement, un ordre après l’autre.

Moment probabiliste et moment d’inertie. Le moment étudié ici est une espérance associée à la loi d’une variable aléatoire. Le moment d’inertie appartient à la mécanique : l’analogie vient de sommes ou d’intégrales pondérées, mais les objets et les unités ne sont pas les mêmes.

Moment ordinaire et moment factoriel. Le moment ordinaire d’ordre k utilise la puissance k de X. Le moment factoriel utilise, pour une variable entière, le produit décroissant de k facteurs. Dès l’ordre 2, il porte sur X(X − 1), et non sur X².

Un moment peut ne pas exister. Si l’espérance de la valeur absolue de X à la puissance k est infinie, le moment d’ordre k n’est pas fini. Il faut alors annoncer cette divergence au lieu de manipuler le moment comme un nombre.

La fonction génératrice n’est pas toujours disponible. Des moments peuvent être finis alors que l’espérance de l’exponentielle de tX ne l’est pas pour des valeurs non nulles de t. Les dérivées en 0 ne constituent donc un outil global que si la fonction est finie dans un voisinage de 0.

Tous les moments ne garantissent pas toujours l’unicité. Deux lois distinctes peuvent partager la même suite de moments. Pour conclure que les moments caractérisent une loi, il faut vérifier une condition de détermination, par exemple l’existence de la fonction génératrice autour de 0.

L’ordre 0 est un cas charnière. Avec la convention usuelle X⁰ = 1, le moment d’ordre 0 vaut 1. Cette valeur ne décrit ni le niveau moyen ni la dispersion ; elle exprime seulement la masse totale d’une loi de probabilité.

La fiche variable aléatoire précise l’objet dont la loi fournit les valeurs et probabilités utilisées dans chaque moment.

La fiche variance d'une variable aléatoire approfondit le moment centré d’ordre 2 et son rôle dans la mesure de la dispersion.

La fiche Fonction génératrice prolonge l’étude de l’outil qui rassemble les moments lorsqu’il existe autour de 0.