Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
König-Huygens (formule de)
La formule de König-Huygens, aussi appelée théorème de Huygens, relie le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe à celui mesuré par rapport à l'axe parallèle passant par le centre de masse. Elle stipule que le moment d'inertie par rapport à un axe est égal au moment d'inertie par rapport à l'axe centroïdal parallèle augmenté du produit de la masse par le carré de la distance entre les deux axes. En statistique, elle s'exprime par la relation entre la variance et le moment d'ordre deux.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la variance à l’espérance et au moment d’ordre deux.
- Calculer exactement la variance des valeurs 1, 2 et 5 équiprobables.
- Contrôler le résultat par la moyenne des écarts au carré.
- Transposer la relation aux moments d’inertie autour de deux axes parallèles.
- Repérer les hypothèses, les arrondis risqués et les cas où la formule ne s’applique pas.
En clair
Imaginez trois valeurs, 1, 2 et 5, placées sur une droite. Pour mesurer leur dispersion, on peut calculer leurs écarts à la moyenne, puis les élever au carré. La formule de König-Huygens offre un autre chemin : elle prend la moyenne des carrés et lui retire le carré de la moyenne.
En mécanique, le même principe déplace un axe de calcul : éloigner l’axe du centre de masse ajoute une quantité qui dépend de la masse et du carré du déplacement.
Définition
La formule de König-Huygens relie une grandeur quadratique calculée autour d’un point de référence à la même grandeur calculée autour du centre de masse ou de la moyenne. En probabilités, pour une variable aléatoire réelle X dont le carré possède une espérance finie, l’espérance de X est notée E(X), son moment d’ordre deux est E(X2) et sa variance est Var(X). La relation est :
La version statistique vaut aussi pour une série finie : E(X) représente alors la moyenne pondérée des valeurs et E(X2) la moyenne pondérée de leurs carrés. Les mêmes poids doivent être employés dans les deux moyennes.
En mécanique, soit Δ un axe, ΔG l’axe parallèle passant par le centre de masse G, m la masse totale et d la distance entre les axes. Si IΔ et IΔG désignent les moments d’inertie correspondants, alors :
Le terme ajouté est toujours positif ou nul. L’axe centroïdal parallèle est donc celui pour lequel le moment d’inertie est minimal parmi ces axes parallèles.
Le principe
Si une variable aléatoire réelle X admet un moment d’ordre deux fini, alors sa variance s’obtient en soustrayant le carré de son espérance à l’espérance de son carré :
Pour un solide de masse m, si deux axes Δ et ΔG sont parallèles et si ΔG passe par le centre de masse, alors , où d est leur distance.
Quand l'utiliser
En probabilités, il faut connaître la loi de X, ou une série de valeurs avec leurs poids, et vérifier que l’espérance de X2 est finie. La formule donne alors une variance finie. Les poids employés pour la moyenne et pour la moyenne des carrés doivent être identiques.
En mécanique, les deux axes doivent être parallèles, et l’axe de référence doit passer par le centre de masse. La masse totale et la distance perpendiculaire entre les axes sont nécessaires. Si les axes se coupent ou ne sont pas parallèles, la seule distance d ne suffit pas : il faut recalculer le moment d’inertie ou utiliser une relation adaptée à la rotation des axes.
Un exemple, pas à pas
La variable aléatoire X prend les valeurs 1, 2 et 5, chacune avec la probabilité 1/3. Il faut calculer sa variance par la formule de König-Huygens. Une représentation sur une droite graduée montre la position de ces trois valeurs et de leur moyenne.
Étape 1. L’espérance de X est la moyenne des trois valeurs :
Étape 2. Le moment d’ordre deux est la moyenne de leurs carrés :
Étape 3. On soustrait le carré de l’espérance au moment d’ordre deux :
La variance vaut donc 26/9, soit environ 2,89. Comme X n’a pas d’unité dans cet exemple, ce résultat n’en a pas non plus ; pour une grandeur mesurée, l’unité serait élevée au carré.
Contrôle. Les écarts à la moyenne 8/3 sont −5/3, −2/3 et 7/3. La moyenne de leurs carrés vaut : les deux méthodes coïncident.
En pratique
Pour une loi de probabilité, la formule est pratique lorsque l’espérance de X et celle de X2 sont déjà connues. Si les écarts à la moyenne sont plus simples, la définition directe de la variance peut être préférable.
Pour une série de données, on calcule la moyenne des carrés avec les mêmes effectifs ou fréquences que la moyenne. Un contrôle utile consiste à vérifier que le résultat n’est pas négatif.
En mécanique, on choisit d’abord un axe parallèle passant par le centre de masse, dont le moment d’inertie est connu ou facile à déterminer. On ajoute ensuite m d2. Si l’axe recherché n’est pas parallèle, cette translation d’axe doit être remplacée par une méthode tenant compte de son orientation.
À ne pas confondre
Variance et moment d’ordre deux. Le moment d’ordre deux E(X2) est calculé par rapport à zéro ; la variance est calculée autour de la moyenne. Pour les valeurs 1, 2 et 5, ils valent respectivement 10 et 26/9.
Variance et écart type. La variance s’exprime dans l’unité au carré, tandis que l’écart type est sa racine carrée et retrouve l’unité de X. Une variance de 26/9 donne un écart type de √26/3.
Translation et rotation d’un axe. König-Huygens traite le déplacement entre axes parallèles. Deux axes d’orientations différentes peuvent avoir des moments d’inertie distincts même s’ils passent tous deux par le centre de masse ; l’ajout du produit masse × distance2 ne tranche pas ce cas.
Limites et pièges
Distance nulle. Si d = 0, les deux axes parallèles coïncident et le terme m d2 est nul. Le moment d’inertie ne change pas ; ce cas charnière vérifie immédiatement le signe de la formule.
Arrondis trop précoces. Dans l’exemple, remplacer 8/3 par 2,67 avant de le mettre au carré donne une petite erreur. Il faut conserver 8/3 jusqu’au résultat exact 26/9, puis arrondir à 2,89.
Poids incohérents. Pour une série pondérée, employer les fréquences dans E(X) mais oublier ces fréquences dans E(X2) détruit l’identité. Les deux moyennes doivent être calculées avec la même loi ou les mêmes effectifs.
Moment d’ordre deux infini. Si E(X2) n’est pas finie, l’écriture comme différence de deux nombres finis n’est plus disponible. Il ne faut ni effectuer une soustraction formelle ni annoncer une variance finie ; il faut examiner directement l’existence des moments.
Pour aller plus loin
Variance d'une variable aléatoire — Revenir à la mesure de dispersion elle-même et à son interprétation autour de l’espérance.
Variable aléatoire — Préciser l’objet X, ses valeurs possibles et la loi qui pondère les calculs.
Moment — Situer le moment d’ordre deux parmi les indicateurs construits à partir des puissances d’une variable.
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