Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
analyse en composantes principales
L’analyse en composantes principales (ACP) est une méthode statistique qui résume des observations décrites par plusieurs variables quantitatives en les projetant dans un espace de plus faible dimension. Elle construit des axes successifs orthogonaux qui maximisent la variance, ou inertie, conservée ; les composantes obtenues sont ainsi non corrélées. Elle facilite la visualisation de la structure des données et des relations entre variables, après centrage et, si leurs unités ou dispersions diffèrent, réduction des variables.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier le nuage de points aux axes qui maximisent l’inertie projetée.
- Recalculer une ACP centrée réduite sur quatre observations à deux variables.
- Interpréter une part d’inertie sans confondre projection, classification et causalité.
En clair
Imaginez un tableau où chaque élève possède plusieurs notes. Avec deux matières, un graphique suffit ; avec vingt, le nuage de points vit dans vingt dimensions et devient impossible à regarder directement.
L’analyse en composantes principales cherche alors les directions qui montrent le plus d’écarts entre les élèves. Elle remplace les variables initiales par quelques composantes, non corrélées entre elles. Une première composante résume la variation la plus forte, puis la suivante recueille la plus forte variation restante. Cette réduction fait apparaître des proximités, des oppositions ou des groupes possibles, sans supprimer la nécessité d’interpréter les données.
Définition
L’analyse en composantes principales, ou ACP, est une méthode statistique multivariée appliquée à un ensemble de n observations décrites par p variables quantitatives. Chaque observation est un point de ℝp. L’ACP projette ce nuage sur un sous-espace de dimension k, avec k inférieur à p, afin de conserver autant d’inertie que possible. L’inertie est la moyenne pondérée des carrés des distances au centre de gravité.
Les axes principaux sont choisis successivement. Le premier maximise l’inertie projetée ; chaque axe suivant maximise l’inertie restante tout en étant perpendiculaire aux précédents. Les coordonnées des observations sur ces axes forment les composantes principales. Ce sont des combinaisons des variables initiales, deux à deux non corrélées. Si la matrice X contient les données centrées et si u est la direction d’un axe, la composante associée est donnée par .
Lorsque les variables ont des unités ou des dispersions très différentes, on les centre puis on les réduit ; l’analyse repose alors sur leurs corrélations. Si elles sont seulement centrées, elle dépend de leurs covariances et les variables les plus dispersées peuvent peser davantage. Les graphiques des individus et des variables aident à révéler des liaisons ou des groupes éventuels. Ils restent des projections : leur interprétation doit tenir compte de la part d’inertie conservée.
Un exemple, pas à pas
Quatre élèves ont obtenu, dans deux matières notées sur 10, les couples suivants :
Données : (2 ; 2), (4 ; 4), (6 ; 6) et (8 ; 8). Chaque matière a donc une moyenne de 5. On traite ces quatre élèves comme toute la population étudiée.
Données : (2 ; 2), (4 ; 4), (6 ; 6) et (8 ; 8). Chaque matière a donc une moyenne de 5. On traite ces quatre élèves comme toute la population étudiée.
1. Soustrayez 5 à chaque note. Dans chaque matière, les valeurs centrées sont −3, −1, 1 et 3. Leur variance vaut , donc leur écart type vaut √5.
2. Divisez chaque valeur centrée par √5. Les deux colonnes standardisées sont identiques : −3/√5, −1/√5, 1/√5 et 3/√5. La matrice de corrélation se calcule à partir de ces deux colonnes.
3. La direction du premier axe est la diagonale . La direction perpendiculaire ne porte ici aucune dispersion. Les valeurs propres associées valent exactement 2 et 0.
4. La somme des valeurs propres vaut 2. Le premier axe explique donc la totalité de l’inertie, car . Le contrôle est immédiat : tous les points standardisés sont sur la même diagonale, donc leur projection perpendiculaire vaut zéro.
La représentation des quatre points standardisés rend visible ce résultat : le premier axe suit exactement leur alignement, tandis que le second n’enregistre aucune variation. Ce cas parfait sert de contrôle ; des données réelles sont rarement aussi alignées.
En pratique
Pour explorer un tableau comportant beaucoup de variables quantitatives, on centre les données, on décide si leur réduction est nécessaire, puis on observe la part d’inertie portée par les premiers axes. Avec seulement deux variables directement lisibles, un nuage de points peut suffire.
Pour visualiser les observations, on place leurs coordonnées sur deux composantes principales. Des points proches ont des profils proches dans la projection retenue. Si ces deux axes conservent peu d’inertie, il faut examiner d’autres axes au lieu de conclure sur ce seul dessin.
Pour étudier les relations entre variables, on regarde leur contribution aux axes et leurs directions dans la représentation. Une proximité graphique suggère une liaison à examiner ; elle ne démontre pas une relation causale. Pour former automatiquement des groupes, une méthode de classification est nécessaire après, ou à la place de, l’ACP.
À ne pas confondre
ACP et matrice de corrélation. Une matrice de corrélation décrit les liaisons linéaires deux à deux entre variables standardisées. L’ACP utilise cette matrice dans sa variante centrée réduite pour construire des axes qui résument simultanément le nuage. Une matrice seule ne fournit donc pas les coordonnées des observations sur ces axes.
ACP et classification. L’ACP projette les observations et peut rendre visibles des groupes éventuels ; elle ne leur attribue pas automatiquement une classe. Si deux amas apparaissent sur le premier plan, l’ACP les montre. Une méthode de classification est requise pour définir une règle d’appartenance.
Limites et pièges
Échelle des variables. Si une variable est exprimée avec des nombres beaucoup plus dispersés que les autres, une ACP sur les seules données centrées peut être dominée par cette variable. Le symptôme est un premier axe presque confondu avec elle. Il faut alors justifier les unités ou travailler sur des variables centrées réduites.
Projection trop pauvre. Un plan principal qui conserve 45 % de l’inertie en laisse 55 % hors du dessin. Des points apparemment proches peuvent donc être éloignés sur les axes suivants. Il faut annoncer la part conservée et examiner d’autres composantes avant d’interpréter une proximité.
Axes non uniques en cas d’égalité. Si deux valeurs propres sont égales, toute rotation dans le sous-espace correspondant conserve la même inertie. Les axes particuliers affichés par un logiciel ne sont alors pas uniques. Il faut interpréter le sous-espace plutôt qu’une direction isolée.
Lecture causale. Une opposition ou une proximité dans une représentation révèle une structure statistique, pas une cause. Le symptôme est une conclusion causale tirée du seul graphique. Il faut revenir au contexte, aux variables et au protocole de collecte avant d’expliquer la liaison.
Pour aller plus loin
La fiche Nuage de points précise la représentation géométrique des observations qui sert de point de départ à l’ACP.
La fiche matrice de corrélation éclaire le cadre centré réduit, où chaque variable contribue après standardisation.
La fiche valeur propre approfondit les nombres qui mesurent l’inertie portée par chaque axe principal.
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