analyse factorielle des correspondances

Trois lycées comptent les élèves qui préfèrent la géométrie, les probabilités ou le calcul. Le tableau donne neuf effectifs, mais sa lecture case par case masque les ressemblances entre lycées et entre préférences.

L’analyse factorielle des correspondances transforme ces effectifs en une carte. Deux lycées proches ont des répartitions de préférences semblables. Deux préférences proches se distribuent de façon semblable entre les lycées. Les écarts les plus instructifs par rapport à l’indépendance structurent les axes ; le nombre total d’élèves, à lui seul, ne suffit donc pas à rapprocher deux profils.

L’analyse factorielle des correspondances, ou AFC, étudie un tableau de contingence croisant deux caractères. L’effectif de la ligne i et de la colonne j est noté n_ij, et l’effectif total n. La masse de la colonne j est la proportion c_j = n_·j/n. Le profil d’une ligne i est la répartition n_ij/n_i· de son effectif entre les colonnes. L’AFC compare ces profils avec la distance du Khi-deux : $d^2(i,i^{\mathrm{\prime }})={\sum }_j\frac{1}{c_j}{(\frac{n_{ij}}{n_{i\cdot }}-\frac{n_{i^{\mathrm{\prime }}j}}{n_{i^{\mathrm{\prime }}\cdot }})}^{2}d^2(i,i\text{'})=\backslash sum\_j\backslash frac\{1\}\{c\_j\}\backslash left(\backslash frac\{n\_\{ij\}\}\{n\_\{i\backslash cdot\}\}-\backslash frac\{n\_\{i\text{'}j\}\}\{n\_\{i\text{'}\backslash cdot\}\}\backslash right)^2$. Une colonne rare reçoit ainsi un poids relatif plus élevé qu’une colonne fréquente.

La méthode décompose l’écart à l’indépendance en axes factoriels orthogonaux. L’inertie totale est le Khi-deux du tableau divisé par n. Les lignes et les colonnes jouent des rôles symétriques : leurs profils sont projetés dans un même espace de faible dimension. Le plan formé par les deux premiers axes conserve les deux parts d’inertie les plus grandes ; si d’autres axes portent encore une part notable, ce plan ne résume pas toute la liaison.

Le test du Khi-deux répond à la question « existe-t-il une liaison ? », tandis que l’AFC décrit la forme de cette liaison. Elle se distingue de l’analyse en composantes principales et de l’analyse factorielle discriminante, qui partent de tableaux de variables quantitatives. Systématisée par J. P. Benzécri en 1962, l’AFC fournit une carte où les proximités internes aux lignes ou aux colonnes traduisent des profils voisins.

Données. Les lycées A, B et C relèvent les préférences « géométrie, probabilités, calcul ». Les lignes sont A : 30, 10, 10 ; B : 10, 30, 10 ; C : 10, 10, 30.

1. Chaque ligne totalise 50 élèves, chaque colonne aussi, et l’effectif total vaut 150. Sous l’hypothèse d’indépendance, chaque case attendue vaut 50 × 50 / 150 = 50/3.

2. Les trois cases diagonales contribuent chacune 32/3 au Khi-deux. Les six autres contribuent chacune 8/3. On obtient donc ${\chi }^2=3\times \frac{32}{3}+6\times \frac{8}{3}=48\backslash chi^2=3\backslash times\backslash frac\{32\}\{3\}+6\backslash times\backslash frac\{8\}\{3\}=48$.

3. L’inertie totale vaut 48/150 = 0,32. Les trois profils-lignes sont (0,6 ; 0,2 ; 0,2), (0,2 ; 0,6 ; 0,2) et (0,2 ; 0,2 ; 0,6). La distance du Khi-deux au carré entre deux profils vaut 0,96.

4. Les trois distances entre profils étant égales à √0,96, leurs points forment un triangle équilatéral. Avec trois masses de lignes égales à 1/3, on centre ce triangle à l’origine ; son rayon vaut √(0,96/3) = √0,32. L’orientation étant libre, on choisit les coordonnées exactes A = (√0,32 ; 0), B = (−√0,08 ; √0,24) et C = (−√0,08 ; −√0,24), soit, après arrondi, A en (0,566 ; 0), B en (−0,283 ; 0,490) et C en (−0,283 ; −0,490). Les inerties des axes se vérifient alors directement : (0,32 + 0,08 + 0,08)/3 = 0,16 à l’horizontale et (0 + 0,24 + 0,24)/3 = 0,16 à la verticale. Par symétrie, les colonnes occupent les mêmes positions.

Contrôle. Les valeurs attendues totalisent 150, chaque profil totalise 1 et 0,16 + 0,16 = 0,32. La carte est un triangle équilatéral de côté √0,96. Les deux inerties étant égales, une rotation des axes ne change ni les distances ni l’interprétation.

Pour comparer des préférences entre établissements, on construit le tableau des effectifs puis on examine les profils et la carte. Si les données sont des notes numériques individuelles, une analyse en composantes principales répond mieux à la structure du tableau.

Pour explorer une enquête croisant deux réponses qualitatives, l’AFC repère les modalités qui s’écartent ensemble de l’indépendance. Si la seule question est de décider si une liaison existe, le test du Khi-deux suffit ; l’AFC devient utile lorsqu’on veut décrire cette liaison.

Avant d’interpréter le plan, on lit la part d’inertie portée par ses axes et les contributions des points. Une modalité proche de l’origine ou mal représentée sur ce plan demande l’examen d’un axe supplémentaire plutôt qu’un commentaire forcé.

Avec le test du Khi-deux. Le test fournit une décision sur l’indépendance à partir d’un seuil choisi ; il ne dessine pas les profils responsables de l’écart. Si l’on veut seulement tester une liaison, le test suffit. Si l’on veut en lire la structure, l’AFC prolonge l’analyse.

Avec l’analyse en composantes principales. L’ACP traite un tableau d’observations décrites par des variables quantitatives et s’appuie sur leurs écarts numériques. L’AFC part d’effectifs croisés et compare des profils avec la métrique du Khi-deux. Un tableau de notes appelle l’ACP ; un tableau de comptages croisés appelle l’AFC.

Avec l’analyse factorielle discriminante. Celle-ci utilise des variables quantitatives et des groupes connus pour construire des directions qui les séparent. L’AFC n’exige pas une variable de groupe à prédire : elle décrit symétriquement les lignes et les colonnes d’un tableau de contingence.

Marge nulle. Une ligne ou une colonne de total 0 n’a pas de profil défini : une division par 0 apparaît. Le symptôme est une catégorie sans aucune observation. Il faut la retirer du tableau actif avant le calcul.

Plan incomplet. Avec trois lignes et trois colonnes, il existe au plus deux axes non triviaux, mais un tableau plus grand peut en avoir davantage. Si les deux premiers axes n’absorbent qu’une faible part de l’inertie, il faut consulter les axes suivants plutôt que résumer la liaison au seul plan.

Axes non uniques en cas d’égalité. Dans l’exemple, les deux inerties principales valent exactement 0,16. Toute rotation du plan fournit donc des axes aussi valides. Il faut interpréter les distances et la configuration triangulaire, pas donner un sens absolu à l’horizontale ou à la verticale.

Proximité à interpréter. Entre deux points d’un même ensemble correctement représentés sur le plan, une faible distance traduit des profils semblables. En revanche, une association entre une ligne et une colonne ne se déduit pas de leur simple proximité graphique : il faut tenir compte de la dimension omise et de la qualité de représentation. Dans tous les cas, la carte ne prouve aucune causalité ; il faut revenir aux effectifs, aux contributions et au contexte de collecte avant toute conclusion substantielle.

tableau de contingence — Revoit la construction des effectifs croisés qui servent de point de départ à l’AFC.

Khi-deux (loi du) — Éclaire la mesure d’écart à l’indépendance dont l’AFC décompose l’inertie.

analyse en composantes principales — Compare l’AFC à la méthode factorielle adaptée aux tableaux de variables quantitatives.