Khi-deux (loi du)

Prenons trois résultats standardisés : 1, −2 et 0,5. On les élève au carré, puis on additionne : 1 + 4 + 0,25 = 5,25. Les signes ont disparu et chaque écart contribue par sa taille au carré.

Si ces résultats proviennent de variables normales centrées réduites indépendantes, la somme obtenue suit une loi du khi-deux. Le nombre de valeurs additionnées donne ici trois degrés de liberté.

Soit un entier k au moins égal à 1. On considère k variables aléatoires indépendantes, notées Z₁, Z₂, …, Z_k, qui suivent chacune la loi normale centrée réduite. La variable aléatoire X obtenue en additionnant leurs carrés suit la loi du khi-deux à k degrés de liberté.

La variable X ne prend que des valeurs positives ou nulles. Sa densité dépend du nombre k de degrés de liberté. Son espérance vaut k et sa variance vaut 2k. Cette loi intervient en statistique inférentielle, notamment dans les tests d'ajustement, les tests d'indépendance et les intervalles de confiance portant sur une variance. Les trois propriétés imposées aux variables de départ — normalité, centrage-réduction et indépendance — font partie de la construction.

On note Z₁ à Z_k des variables normales centrées réduites indépendantes. Leur nombre k est le nombre de degrés de liberté, et X désigne la somme de leurs carrés.

La notation signifie que X suit la loi du khi-deux à k degrés de liberté. Les deux dernières égalités donnent respectivement sa moyenne théorique et sa dispersion.

La construction par somme de carrés demande un entier k au moins égal à 1 et exactement k variables. Chacune doit suivre une loi normale centrée réduite : son espérance est 0 et sa variance est 1. Les variables doivent aussi être indépendantes. Sous ces conditions, la somme de leurs carrés a k degrés de liberté.

Si deux variables sont dépendantes, une somme telle que Z₁² + Z₂² n'est pas assurée de suivre une loi du khi-deux à deux degrés de liberté. Il faut alors tenir compte de leur loi jointe au lieu d'appliquer directement cette construction.

On observe trois réalisations indépendantes de variables normales centrées réduites.
Données : Z₁ = 1 ; Z₂ = −2 ; Z₃ = 0,5 ; k = 3.

1. On élève chaque valeur au carré : 1² = 1, (−2)² = 4 et 0,5² = 0,25.

2. On additionne les trois contributions : X = 1 + 4 + 0,25 = 5,25. Le schéma matérialise cette addition sans modifier l'échelle des contributions.

3. Comme les trois hypothèses de normalité centrée réduite et d'indépendance sont posées, X suit une loi du khi-deux à 3 degrés de liberté. La valeur observée est 5,25. Un contrôle direct consiste à refaire les trois carrés ; leur somme redonne exactement 5,25.

Dans un test d'ajustement, on construit une statistique qui mesure l'écart entre des observations et ce qu'un modèle prévoit. La loi du khi-deux fournit alors un repère probabiliste lorsque les conditions du test sont satisfaites.

Dans un test d'indépendance, le geste est comparable : on confronte les données observées à celles qui seraient attendues si les caractères étaient indépendants. Si le cadre ne justifie pas la loi du khi-deux, il faut employer un test adapté aux hypothèses réellement disponibles.

Pour encadrer la variance d'une population dans le cadre approprié, on transforme la variance mesurée sur un échantillon en une quantité reliée à une loi du khi-deux. Les degrés de liberté déterminent alors la loi de référence.

Loi du khi-deux et statistique du khi-deux. La loi est une distribution de probabilité ; la statistique est une valeur calculée à partir de données. Dans l'exemple, 5,25 est une réalisation, tandis que la loi à 3 degrés de liberté sert de référence.

Loi normale centrée réduite et loi du khi-deux. Une variable normale centrée réduite peut prendre des valeurs négatives ; dans l'exemple, −2 est une réalisation de cette variable. La somme de ses carrés avec ceux d'autres variables indépendantes est toujours positive ou nulle et suit la loi du khi-deux correspondante.

Degrés de liberté mal comptés. Dans la construction donnée, k compte les variables indépendantes mises au carré. Le premier cas non vide est k = 1 ; remplacer k par le nombre d'observations sans examiner la construction conduit à choisir une mauvaise loi de référence.

Dépendance masquée. Des variables peuvent chacune être normales centrées réduites sans être indépendantes. Leurs lois individuelles ne suffisent donc pas : il faut vérifier l'indépendance ou analyser leur loi jointe avant d'identifier la somme à un khi-deux.

Valeur observée prise pour une probabilité. Le résultat 5,25 de l'exemple est une valeur possible de la variable X, pas une probabilité. Pour l'interpréter dans un test, il faut la situer dans la loi possédant le bon nombre de degrés de liberté.

La loi normale centrée réduite précise la loi suivie par chacune des variables avant leur mise au carré.

La densité de probabilité aide à interpréter la répartition continue des valeurs positives d'un khi-deux.

La variance d'une variable aléatoire approfondit la mesure de dispersion qui vaut 2k pour cette loi.