Khi-2 (test du)

On lance 60 fois un dé équilibré. On attend environ 10 apparitions de chaque face, mais les comptes réels seront rarement tous égaux à 10. Le test du khi-2 mesure l'écart global entre ces comptes observés et les comptes attendus.

Plus les écarts sont grands par rapport aux effectifs attendus, plus la statistique augmente. Le test ne prouve pas que le modèle est vrai : il indique si les différences constatées restent compatibles avec lui.

Le test du khi-2 compare des effectifs répartis entre des catégories. Pour chaque catégorie numérotée par l'indice i, l'effectif observé est noté O_i et l'effectif attendu sous l'hypothèse nulle est noté E_i. La statistique additionne les écarts quadratiques, pondérés par les effectifs attendus :

Sous l'hypothèse nulle et lorsque l'approximation est adaptée aux données, cette statistique suit approximativement une loi du khi-deux. Le nombre de degrés de liberté dépend du nombre de catégories et des contraintes du modèle. Le test d'adéquation compare une répartition observée à une répartition théorique. Le test d'indépendance examine, dans un tableau de contingence, si deux variables catégorielles sont liées. Le test d'homogénéité compare la répartition d'une même variable entre plusieurs populations. Dans chaque cas, une grande valeur de la statistique met en difficulté l'hypothèse nulle ; la décision se formule avec un seuil choisi et une probabilité critique, sans conclure que l'hypothèse retenue est prouvée.

Un dé est lancé 60 fois. Les faces 1 à 6 apparaissent respectivement 8, 9, 10, 11, 12 et 10 fois. Sous l'hypothèse d'un dé équilibré, chaque face a un effectif attendu de 60 ÷ 6 = 10.

1. Les écarts observé moins attendu sont −2, −1, 0, 1, 2 et 0.

2. Leurs carrés sont 4, 1, 0, 1, 4 et 0. Après division par l'effectif attendu 10, les contributions valent 0,4 ; 0,1 ; 0 ; 0,1 ; 0,4 et 0.

3. La somme donne ${\chi }^2=\mathrm{0,4}+\mathrm{0,1}+0+\mathrm{0,1}+\mathrm{0,4}+0=1\backslash chi^2=0\{,\}4+0\{,\}1+0+0\{,\}1+0\{,\}4+0=1$. Avec six catégories et aucune proportion estimée à partir des lancers, le test possède 6 − 1 = 5 degrés de liberté.

Le résultat du calcul est donc une statistique du khi-2 égale à 1. Un contrôle direct consiste à vérifier que les six effectifs observés totalisent bien 60 et que les six contributions totalisent bien 1. L'écart est faible au regard de la variabilité décrite par la loi du khi-deux à 5 degrés de liberté ; ces données ne donnent pas de raison de rejeter l'équilibre du dé aux seuils usuels, sans pour autant le prouver.

Pour contrôler l'adéquation d'une répartition, on fixe d'abord le modèle attendu, puis on compte les observations catégorie par catégorie. Si les données sont des mesures continues plutôt que des comptes catégoriels, un test conçu pour ces mesures est préférable.

Pour étudier l'indépendance de deux variables catégorielles, on construit un tableau de contingence et on calcule les effectifs attendus à partir des totaux de lignes et de colonnes. Lorsque certains effectifs attendus sont trop faibles, une méthode exacte ou un regroupement justifié remplace l'approximation du khi-2.

Pour comparer plusieurs populations, on conserve les mêmes catégories dans chaque groupe. Le test d'homogénéité indique si les répartitions diffèrent au-delà de la fluctuation d'échantillonnage ; l'ampleur et le sens des écarts se lisent ensuite dans les contributions par case.

Le test du khi-2 et la loi du khi-deux. Le test est une procédure de décision fondée sur des effectifs observés et attendus. La loi du khi-deux est la distribution de référence utilisée pour interpréter la statistique sous l'hypothèse nulle. Une valeur calculée sur un tableau relève du test ; une courbe de densité paramétrée par des degrés de liberté décrit la loi.

Test d'adéquation et test d'indépendance. Le premier confronte une variable catégorielle à des proportions théoriques fixées. Le second croise deux variables catégorielles dans un tableau. Six comptes de faces de dé appellent un test d'adéquation ; des comptes croisant face obtenue et type de dé appelleraient un test d'indépendance.

Effectifs attendus trop faibles. Quand des cases attendues sont petites, l'approximation par la loi du khi-deux devient fragile. Le symptôme est la présence de catégories rares ; il faut alors regrouper seulement des catégories comparables ou employer une méthode exacte adaptée.

Observations dépendantes. Le calcul suppose que les unités observées apportent des informations indépendantes dans le plan d'échantillonnage. Des réponses répétées des mêmes personnes créent une dépendance que la formule ordinaire ignore ; il faut utiliser une méthode tenant compte de l'appariement ou des répétitions.

Degrés de liberté mal comptés. Pour les six faces du dé et des probabilités fixées à l'avance, le cas charnière est 6 − 1 = 5 degrés de liberté. Si des paramètres sont estimés avec les mêmes données, des contraintes supplémentaires réduisent ce nombre ; il faut les décompter avant d'interpréter la statistique.

Significatif ne signifie pas important. Un grand échantillon peut rendre détectable un écart minuscule. Le symptôme est une faible probabilité critique accompagnée de différences très petites ; il faut examiner les contributions, les écarts observés et une mesure d'ampleur avant toute conclusion pratique.

La Loi du Chi-2 précise la distribution de référence et le rôle des degrés de liberté dans l'interprétation du test.

Le tableau de contingence montre comment organiser deux variables catégorielles avant un test d'indépendance.