Loi du Chi-2

Imaginez plusieurs mesures ramenées à une même échelle, centrée sur zéro. Certaines sont positives, d’autres négatives. En élevant chacune au carré, tous les écarts deviennent positifs et les grands écarts pèsent davantage. Leur somme mesure alors l’écart global observé.

Lorsque ces mesures sont indépendantes et suivent chacune une loi normale centrée réduite, cette somme suit une loi du chi-2. Le nombre de mesures additionnées fixe ses degrés de liberté et déplace la zone où les valeurs sont les plus plausibles.

Soit k un entier strictement positif. On considère k variables aléatoires Z₁, …, Z_k, indépendantes, chacune normale centrée réduite, donc d’espérance 0 et de variance 1. La variable aléatoire X définie par la somme de leurs carrés suit la loi du chi-2 à k degrés de liberté, notée χ²(k).

Ses valeurs sont positives ou nulles. Pour une valeur positive x, sa densité est proportionnelle à $x^{k\mathrm{/}2-1}{e}^{-x\mathrm{/}2}x^\{k/2-1\}\; e^\{-x/2\}$. Son espérance vaut k et sa variance vaut 2k.

Cette loi est une loi gamma de paramètre de forme k/2 et de paramètre d’échelle 2. La représentation comme somme de carrés correspond à un nombre entier de degrés de liberté. La famille gamma prolonge toutefois la loi du chi-2 à tout nombre réel k strictement positif.

Si Z₁, …, Z_k sont k variables normales centrées réduites indépendantes, alors leur somme de carrés X suit une loi du chi-2 à k degrés de liberté : $X={\sum }_{i=1}^k{Z}_i^2\sim {\chi }^2(k)X=\backslash sum\_\{i=1\}^\{k\}\; Z\_i^2\; \backslash sim\; \backslash chi^2(k)$. Le paramètre k détermine aussi les deux principaux repères de la loi : $\mathbb{E}(X)=k\backslash mathbb\{E\}(X)=k$ et $\mathrm{Var}(X)=2k\backslash operatorname\{Var\}(X)=2k$.

La construction directe demande un nombre k entier strictement positif de variables. Chacune doit être normale, centrée, de variance 1, et toutes doivent être indépendantes. Le résultat obtenu est une variable positive ou nulle dont la loi est χ²(k). Dans un test d’adéquation ou d’indépendance, il faut en outre établir le nombre de degrés de liberté correspondant aux contraintes du problème avant de choisir la loi de référence.

Si les variables normales sont corrélées, additionner directement leurs carrés ne suffit pas pour invoquer cette loi : l’hypothèse d’indépendance est violée. Il faut alors tenir compte de leur covariance et justifier une transformation qui produise des composantes indépendantes, ou employer une autre loi adaptée au modèle.

On observe quatre valeurs déjà standardisées, supposées indépendantes et issues de lois normales centrées réduites. Données : k = 4 et les valeurs sont 1, −1, 0 et 2.

1. On élève chaque valeur au carré : 1² = 1, (−1)² = 1, 0² = 0 et 2² = 4.

2. On additionne les quatre contributions : $X=1+1+0+4=6X=1+1+0+4=6$. La valeur observée de la statistique est donc 6.

3. Sous les hypothèses annoncées, X suit une loi du chi-2 à 4 degrés de liberté. Son espérance est 4 et sa variance est 8. La figure matérialise la contribution exacte de chaque carré à la somme.

4. Le contrôle est immédiat : les quatre carrés sont positifs ou nuls, leur total est bien 6, et les quatre termes concordent avec les quatre degrés de liberté.

Dans un test d’adéquation, on compare des effectifs observés à ceux qu’un modèle prévoit. Pour chaque catégorie, on calcule le carré de l’écart observé-attendu, divisé par l’effectif attendu, puis on additionne les contributions. Avec 12 et 18 observations au lieu de 15 et 15 attendues, on obtient 9/15 + 9/15 = 1,2. Une statistique élevée signale un écart global important. Si les conditions de l’approximation ne sont pas réunies, un test exact ou un regroupement justifié des catégories est préférable.

Dans un test d’indépendance, les données sont des effectifs croisant deux caractères. La loi du chi-2 sert de référence pour apprécier l’écart à l’indépendance. Pour des données appariées ou quantitatives, une méthode correspondant à cette structure doit la remplacer.

Pour un échantillon aléatoire indépendant X₁, …, Xₙ issu d’une population normale de variance σ², si S² = Σ(Xᵢ − X̄)²/(n − 1), alors (n − 1)S²/σ² suit la loi du chi-2 à n − 1 degrés de liberté. On en déduit un intervalle de confiance sur la variance. Sans hypothèse de normalité, une méthode robuste ou fondée sur le rééchantillonnage peut être plus appropriée.

Loi du chi-2 et test du chi-2. La loi est un modèle de probabilité ; le test est une procédure de décision qui utilise souvent cette loi comme référence. Une courbe de densité décrit la loi, tandis qu’un tableau d’effectifs et une hypothèse à examiner définissent un test.

Loi du chi-2 et loi normale. Une variable normale centrée peut être négative, alors qu’une variable du chi-2 est positive ou nulle. Dans l’exemple, les valeurs −1 et 2 sont normales standardisées ; c’est la somme de leurs carrés, avec les deux autres, qui suit la loi du chi-2.

Zéro degré de liberté. La construction non dégénérée commence à k = 1. À k = 0, la somme ne contient aucun carré et se réduit à 0 ; ce cas dégénéré n’a pas la densité positive décrite pour la loi usuelle.

Dépendance cachée. Des variables normales prises séparément ne suffisent pas. Si elles sont corrélées, la somme brute de leurs carrés n’a pas nécessairement la loi annoncée. Il faut contrôler l’indépendance ou transformer correctement le vecteur.

Degrés de liberté mal comptés. Dans une application statistique, k n’est pas toujours le nombre brut de données ou de cases. Les contraintes et les paramètres estimés peuvent réduire ce nombre ; il faut le déterminer à partir du modèle employé.

Queue asymétrique. La loi reste bornée par 0 et présente une queue vers les grandes valeurs, surtout pour les petits k. Interpréter un écart par symétrie autour de l’espérance serait trompeur ; il faut utiliser la loi correspondant au bon nombre de degrés de liberté.

La loi gamma replace le chi-2 dans une famille continue et éclaire ses paramètres de forme k/2 et d’échelle 2.

La variance d’une variable aléatoire précise le sens du repère 2k et son rôle dans la dispersion des valeurs.