Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
loi du Khi2
La loi du khi-deux à n degrés de liberté, notée χ²(n), est la loi de probabilité de la somme des carrés de n variables aléatoires indépendantes, toutes de loi normale centrée réduite. Ses valeurs sont non négatives et son support est [0, +∞[ ; la formule de sa densité s’applique pour x > 0. Elle appartient à la famille des lois gamma : elle correspond à la loi Gamma(n/2, 1/2). L'espérance d'une variable χ²(n) est n et sa variance est 2n. La loi du khi-deux est fondamentale en statistique inférentielle : elle intervient dans le test d'adéquation du khi-deux, qui compare une distribution empirique à une distribution théorique, dans le test d'indépendance entre variables catégorielles, et dans la construction des intervalles de confiance pour la variance d'une population normale. Elle est également liée à la loi de Student et à la loi de Fisher par des relations structurelles.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire une variable du khi-deux comme somme de carrés de variables normales centrées réduites indépendantes.
- Relier le nombre de composantes aux degrés de liberté, à l’espérance n et à la variance 2n.
- Refaire l’exemple à trois composantes dont la somme de carrés vaut 5,25.
- Séparer test d’adéquation, test d’indépendance et intervalle de confiance pour une variance.
- Repérer les conditions d’indépendance, de centrage, de réduction et la convention gamma.
En clair
Prenez trois mesures standardisées, par exemple 1, −2 et 0,5. Mettez chacune au carré : le signe disparaît et les contributions deviennent 1, 4 et 0,25. Leur somme vaut 5,25. Si l’on recommence avec trois mesures indépendantes qui suivent chacune une loi normale centrée réduite, les sommes obtenues se répartissent selon la loi du khi-deux à trois degrés de liberté. Cette loi décrit donc la taille cumulée d’écarts gaussiens, sans que leurs signes se compensent.
Définition
Soient n variables aléatoires Z1, …, Zn, indépendantes et suivant chacune la loi normale centrée réduite. La variable aléatoire X définie par suit la loi du khi-deux à n degrés de liberté, notée χ²(n). Comme X est une somme de carrés, elle est non négative et son support est [0, +∞[.
Pour un nombre x strictement positif, cette densité vaut . La moyenne de X est n et sa variance est 2n. Dans la convention où le second paramètre de la loi gamma est un taux, χ²(n) est la loi Gamma(n/2, 1/2) ; dans la convention d’échelle, le second paramètre vaut 2.
Cette loi fournit une référence aux tests d’adéquation et d’indépendance. Elle intervient aussi dans les intervalles de confiance pour la variance d’une population normale et entretient des relations structurelles avec les lois de Student et de Fisher.
Le principe
Si Z1, …, Zn sont indépendantes et suivent toutes la loi normale centrée réduite, alors leur somme de carrés X suit une loi du khi-deux à n degrés de liberté : .
Le nombre n compte les contributions gaussiennes indépendantes. Il détermine aussi les deux repères de la loi : .
Quand l'utiliser
La construction directe demande d’abord des variables normales centrées, chacune de variance 1. Elle demande ensuite leur indépendance. Enfin, chaque carré compte pour un degré de liberté : trois variables satisfaisant ces conditions donnent une loi χ²(3).
Dans un test d’adéquation, les données observées sont comparées à une distribution théorique. Dans un test d’indépendance, elles croisent deux variables catégorielles. Pour un intervalle concernant une variance, la population modélisée doit être normale.
Si les trois mesures 1, −2 et 0,5 proviennent de variables corrélées ou non standardisées, la somme 5,25 reste calculable, mais sa loi n’est pas automatiquement χ²(3). Il faut alors justifier une transformation adaptée ou employer le modèle correspondant aux dépendances et aux échelles réelles.
Un exemple, pas à pas
On observe trois variables indépendantes, toutes normales centrées réduites. Leurs réalisations sont z1 = 1, z2 = −2 et z3 = 0,5. Le nombre de degrés de liberté est donc n = 3.
Étape 1. On élève chaque valeur au carré. Les trois contributions valent 12 = 1, (−2)2 = 4 et 0,52 = 0,25.
Étape 2. On additionne les contributions : . Le carré transforme bien la réalisation négative −2 en une contribution positive de 4.
Étape 3. La variable X dont 5,25 est une réalisation suit la loi χ²(3), car les trois hypothèses de normalité centrée réduite et d’indépendance sont posées.
Étape 4. Son espérance vaut 3 et sa variance vaut 6. Ces deux nombres décrivent la loi de X, pas la seule réalisation 5,25.
Le contrôle se refait sans table : les trois carrés sont positifs et leur somme 1 + 4 + 0,25 redonne exactement 5,25. Une décomposition visuelle conserve ces trois contributions jusqu’à leur somme.
En pratique
Pour contrôler si des fréquences observées suivent une distribution théorique annoncée, on utilise un test d’adéquation du khi-deux. Si aucune distribution de référence n’est formulée, ce test ne répond pas encore à une question déterminée.
Pour étudier le lien entre deux variables catégorielles, on organise leurs effectifs croisés et l’on emploie un test d’indépendance. Lorsqu’une seule variable catégorielle est comparée à des proportions théoriques, le test d’adéquation est le bon cadre.
Pour encadrer la variance d’une population normale, une quantité construite à partir de la variance observée se compare à la loi du khi-deux. Si la moyenne est la grandeur recherchée et que la variance de cette population normale est inconnue, la loi de Student devient la référence naturelle.
À ne pas confondre
Loi du khi-deux et test du khi-deux. La loi est une distribution de probabilité sur les nombres non négatifs. Un test est une procédure qui calcule une statistique puis la compare à cette distribution de référence. Le nombre 5,25 peut être une réalisation d’une variable χ²(3) sans constituer à lui seul un test.
Test d’adéquation et test d’indépendance. Le premier confronte une distribution empirique à une distribution théorique. Le second recherche une dépendance entre deux variables catégorielles. Une seule liste d’effectifs par catégorie relève du premier cadre ; un tableau croisant deux catégories relève du second.
Loi du khi-deux et loi normale. Une variable normale centrée peut prendre des valeurs négatives, comme −2 dans l’exemple. La somme de ses carrés est non négative et suit une loi du khi-deux seulement lorsque les composantes sont aussi réduites et indépendantes.
Limites et pièges
Variables non indépendantes. Si deux composantes évoluent ensemble, compter leurs deux carrés comme deux contributions indépendantes donne une mauvaise loi de référence. Il faut modéliser leur dépendance avant d’invoquer une loi du khi-deux.
Composantes non réduites. Une moyenne différente de 0 ou une variance différente de 1 change la distribution de la somme brute des carrés. Le symptôme est une échelle ou un centrage non justifié ; il faut standardiser selon le modèle avant le calcul.
Degrés de liberté. La construction par une somme de n carrés utilise un entier n ≥ 1. La densité gamma prolonge toutefois la famille χ²(ν) à tout paramètre réel ν > 0. Il faut donc distinguer le nombre concret de composantes du paramètre d’une loi gamma prolongée.
Convention de la loi gamma. Écrire Gamma(n/2, 1/2) signifie ici que 1/2 est un taux. Si un logiciel attend une échelle, saisir 1/2 produit la mauvaise loi ; il faut alors employer l’échelle 2 et vérifier la convention affichée.
Pour aller plus loin
loi normale centrée réduite — Revoir la distribution de chaque composante avant son élévation au carré.
loi gamma — Situer la loi du khi-deux dans sa famille et comprendre ses paramètres de forme et de taux.
variable aléatoire — Reprendre le lien entre une expérience, ses valeurs possibles et leur loi de probabilité.
variance d'une variable aléatoire — Approfondir la mesure de dispersion qui vaut 2n pour une variable χ²(n).
loi de Student — Relier le khi-deux à une autre loi centrale de l’inférence sur une population normale.
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