Pearson Karl

Entre 1857 et 1936, le mathématicien britannique Karl Pearson a contribué à faire des données un objet de calcul. Il a formalisé une manière de mesurer si deux quantités évoluent ensemble selon une tendance linéaire.

Il a aussi mis au point le test du khi-deux. Celui-ci compare des effectifs observés à ceux qu'une hypothèse ferait attendre. Un écart faible va dans le sens de cette hypothèse ; un écart important conduit à la mettre en doute.

Karl Pearson (1857-1936) est un mathématicien britannique et l'un des fondateurs de la statistique mathématique moderne. Sa théorie générale de la corrélation linéaire formalise le degré de liaison linéaire entre deux variables quantitatives. Pour un ensemble de n couples de valeurs, la première valeur du couple est notée x_i, la seconde y_i, et leurs moyennes respectives sont notées x̄ et ȳ. Le coefficient de corrélation linéaire r s'écrit $r=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2{\sum }_{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}}r=\backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}(x\_i-\backslash bar\{x\})(y\_i-\backslash bar\{y\})\}\{\backslash sqrt\{\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}(x\_i-\backslash bar\{x\})^2\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}(y\_i-\backslash bar\{y\})^2\}\}$. Il est défini lorsque les deux séries ne sont pas constantes.

Pearson a également mis au point le test du khi-deux, noté χ². Pour chaque catégorie j, O_j désigne l'effectif observé et E_j l'effectif attendu sous l'hypothèse testée. La statistique est ${\chi }^2={\sum }_j\frac{(O_j-E_j{)}^2}{E_j}\backslash chi^2=\backslash sum\_j\backslash frac\{(O\_j-E\_j)^2\}\{E\_j\}$. Les effectifs attendus doivent être positifs. Ils proviennent soit d'une distribution théorique, pour tester une adéquation, soit des totaux de lignes et de colonnes, pour tester l'indépendance de variables catégorielles. Une valeur élevée signale un écart marqué entre observations et hypothèse ; la décision exige ensuite une règle de test adaptée au nombre de catégories et au seuil choisi.

Une enquête compare l'atelier suivi, A ou B, et l'issue d'un exercice, réussite ou échec. Les données sont :
atelier A : 30 réussites et 20 échecs ;
atelier B : 20 réussites et 30 échecs ;
total : 100 personnes.

1. Chaque atelier réunit 50 personnes, et chaque issue concerne aussi 50 personnes. Si l'atelier et l'issue sont indépendants, chaque effectif attendu vaut 50 × 50 ÷ 100 = 25.

2. Pour chaque case, on calcule le carré de l'écart entre l'effectif observé et 25, puis on divise par 25. Les quatre contributions valent chacune (5 × 5) ÷ 25 = 1.

3. Leur somme donne χ² = 1 + 1 + 1 + 1 = 4. Cette valeur mesure l'écart entre les données et l'indépendance attendue ; elle ne suffit pas, seule, à fixer une conclusion sans seuil de décision.

Le contrôle est refaisable : les quatre effectifs observés totalisent 100, comme les quatre effectifs attendus, et aucune contribution n'est négative. Le schéma compare exactement les quatre paires observé-attendu utilisées dans le calcul.

Avec deux mesures quantitatives, le coefficient de corrélation de Pearson résume la force et le sens d'une liaison linéaire. Si le nuage de points dessine une courbe, son inspection et une méthode adaptée à cette forme sont préférables à ce seul coefficient.

Avec des catégories, le test du khi-deux confronte les effectifs observés aux effectifs attendus sous l'indépendance. Si certaines attentes sont trop faibles, un regroupement justifié ou un test exact est préférable.

Pour une distribution théorique, le même principe mesure l'adéquation entre fréquences observées et fréquences attendues. Le modèle théorique doit être fixé avant d'interpréter l'écart obtenu.

Corrélation et causalité. Une corrélation constate une liaison linéaire dans des données ; elle ne démontre pas qu'une variable produit l'autre. Deux quantités peuvent évoluer ensemble sous l'effet d'une troisième.

Loi du khi-deux et test du khi-deux. La loi fournit un repère probabiliste, tandis que le test est une procédure de décision fondée sur une statistique calculée. Une valeur χ² sans hypothèse ni règle de décision n'est pas un test complet.

Série constante. Si toutes les valeurs d'une variable sont identiques, sa dispersion est nulle et le coefficient r n'est pas défini. Il faut alors décrire cette absence de variation plutôt que d'annoncer une corrélation nulle.

Liaison non linéaire. Un coefficient r proche de 0 peut coexister avec une relation courbe nette. Le symptôme apparaît dans le nuage de points ; il faut examiner sa forme et choisir une mesure compatible avec elle.

Effectif attendu nul ou très faible. Le terme correspondant du khi-deux est impossible si E_j = 0, et l'approximation devient fragile avec de faibles attentes. Il faut revoir les catégories ou employer une procédure exacte adaptée.

Valeur isolée. χ² = 4 dans l'exemple mesure un écart, mais ne donne pas à lui seul un verdict universel. Le seuil choisi et le nombre de catégories déterminent le repère de décision.

coefficient de corrélation : approfondir le calcul et l'interprétation de la liaison linéaire entre deux variables quantitatives.

Khi-deux (loi du) : situer la loi probabiliste qui sert de repère aux tests fondés sur la statistique χ².