Conformité (test de)

Un dé équilibré lancé 60 fois devrait donner environ 10 occurrences de chaque face. Dans une expérience réelle, obtenir 8 fois la face 1 et 12 fois la face 5 n'est pas forcément inquiétant : le hasard crée naturellement des écarts.

Le test de conformité rassemble ces écarts en un indicateur, puis demande s'ils restent plausibles sous le modèle annoncé. Une incompatibilité nette conduit à rejeter ce modèle ; un faible écart signifie seulement que les données ne le contredisent pas assez.

Un test de conformité confronte la distribution observée dans un échantillon à une distribution fixée par l'hypothèse nulle, notée H₀. Il calcule une statistique qui mesure leur désaccord, puis une probabilité critique, appelée valeur p, sous H₀. Si la valeur p est inférieure ou égale au niveau de risque choisi avant l'analyse, H₀ est rejetée. Sinon, on ne la rejette pas : cela ne prouve ni qu'elle est vraie ni que les données suivent exactement la loi proposée.

Pour des catégories, le test du khi-deux d'ajustement compare chaque effectif observé O_i à l'effectif attendu E_i. Sa statistique est ${\chi }^2={\sum }_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i{)}^2}{E_i}\backslash chi^2=\backslash sum\_\{i=1\}^\{k\}\backslash frac\{(O\_i-E\_i)^2\}\{E\_i\}$, où k est le nombre de catégories. Cette formule suppose que chaque catégorie retenue a une probabilité théorique strictement positive, donc E_i > 0. Les observations doivent être indépendantes et les effectifs attendus assez grands pour que l'approximation par la loi du khi-deux soit fiable. Si aucun paramètre n'est estimé à partir de l'échantillon et si les probabilités des k catégories retenues sont fixées, le nombre de degrés de liberté vaut k − 1.

Pour une distribution continue entièrement spécifiée, le test de Kolmogorov-Smirnov mesure le plus grand écart entre la fonction de répartition empirique et celle du modèle. Le test de Shapiro-Wilk cible spécifiquement la normalité. Le choix du test dépend donc de la nature des données, de l'hypothèse examinée et de la manière dont ses paramètres ont été fixés ou estimés.

On lance 60 fois un dé supposé équilibré. Les effectifs observés des faces 1 à 6 sont 8, 9, 10, 11, 12 et 10. Sous H₀, chaque face a une probabilité de 1/6, donc un effectif attendu de 60 × 1/6 = 10. La comparaison des six effectifs est matérialisée par la figure.

1. Calculons les six écarts observé moins attendu : −2, −1, 0, 1, 2 et 0.

2. Élevons ces écarts au carré et divisons chacun par 10 : 4/10, 1/10, 0, 1/10, 4/10 et 0.

3. Additionnons les contributions : ${\chi }^2=\frac{4+1+0+1+4+0}{10}=1\backslash chi^2=\backslash frac\{4+1+0+1+4+0\}\{10\}=1$. Avec six catégories et aucun paramètre estimé, le test possède 6 − 1 = 5 degrés de liberté.

4. Au niveau de risque de 5 %, la valeur critique pour 5 degrés de liberté est environ 11,07. Comme 1 < 11,07, on ne rejette pas l'hypothèse d'un dé équilibré. Contrôle refaisable : les effectifs observés totalisent bien 60 et les six contributions totalisent bien 1.

Pour contrôler des proportions réparties en catégories, comme les six faces d'un dé, utilisez le khi-deux d'ajustement lorsque les observations sont indépendantes et les effectifs attendus suffisants. Si certaines attentes sont trop faibles, une méthode exacte ou une simulation sous H₀ est préférable.

Pour comparer une variable continue à une loi entièrement spécifiée, le test de Kolmogorov-Smirnov convient lorsque l'écart maximal entre fonctions de répartition est la question pertinente. Si les paramètres de la loi sont estimés sur le même échantillon, il faut une calibration adaptée plutôt que les seuils usuels du test entièrement spécifié.

Pour examiner précisément la normalité d'un échantillon, choisissez Shapiro-Wilk. Un graphique quantile-quantile complète utilement le test : il montre la forme des écarts, tandis que la valeur p seule fournit un verdict dépendant de la taille de l'échantillon.

Test de conformité et test d'indépendance. Le premier compare une seule distribution observée à des proportions théoriques fixées. Le second étudie l'association entre deux variables catégorielles dans un tableau croisé. Les six effectifs d'un dé relèvent de la conformité ; des effectifs classés à la fois par face et par type de dé relèvent de l'indépendance.

Test de conformité et test de Student. Un test de Student porte sur une moyenne, ou sur une différence de moyennes selon sa version. Il ne vérifie pas à lui seul toute la forme d'une distribution. Comparer la moyenne des résultats du dé à 3,5 ne remplace donc pas la comparaison de ses six proportions.

Ne pas rejeter n'est pas valider. Dans l'exemple, χ² = 1 ne prouve pas que le dé est équilibré ; les 60 lancers sont seulement compatibles avec cette hypothèse au seuil choisi. Il faut rapporter le verdict et le niveau de risque, sans transformer l'absence de preuve en certitude.

Petit échantillon ou catégories rares. Des effectifs attendus trop faibles rendent l'approximation du khi-deux fragile. Le symptôme est une ou plusieurs catégories presque vides sous H₀. Il faut alors regrouper des catégories seulement si cela a un sens, ou employer une méthode exacte ou simulée.

Paramètres ajustés sur les données. Estimer un paramètre du modèle avec le même échantillon change la distribution de référence et peut réduire les degrés de liberté du khi-deux. Pour Kolmogorov-Smirnov, les seuils du cas entièrement spécifié ne s'appliquent plus tels quels ; il faut une calibration adaptée.

Taille de l'échantillon. Avec beaucoup de données, un écart minuscule peut devenir statistiquement détectable ; avec peu de données, un écart important peut rester indétectable. Il faut compléter la valeur p par la taille et la forme des écarts, puis juger leur importance dans le contexte.

Khi-deux (loi du) — Relier la statistique d'ajustement à sa loi de référence et au choix d'un seuil de décision.

test de Kolmogorov-Smirnov — Approfondir la comparaison d'une distribution continue par l'écart maximal entre deux fonctions de répartition.