valeur critique

Imaginez une mesure placée sur une règle. Une limite partage la règle en deux zones : avant cette limite, le résultat reste compatible avec l'hypothèse étudiée ; au-delà, il devient assez inhabituel pour conduire à son rejet. Cette limite est une valeur critique.

Dans un test à deux côtés, il peut y avoir deux valeurs critiques, une à gauche et une à droite. Leur position dépend du risque de rejeter l'hypothèse nulle alors qu'elle est vraie, fixé avant d'observer les données.

Dans un test d'hypothèse, on choisit une statistique de test dont la distribution est connue lorsque l'hypothèse nulle, notée H₀, est vraie. Une valeur critique est une borne qui sépare les résultats conduisant au rejet de H₀ de ceux pour lesquels on ne la rejette pas. L'ensemble des résultats entraînant le rejet forme la région critique, ou zone de rejet.

Le niveau de signification, noté α, fixe une borne au risque de première espèce : sous H₀, la probabilité que la statistique tombe dans la région critique est au plus égale à α. Elle est égale à α lorsque cette borne est effectivement atteinte, notamment dans le cas usuel d'une hypothèse nulle simple et d'un test continu calibré exactement. Pour un test unilatéral, la région critique se trouve dans une seule extrémité de la distribution. Pour un test bilatéral symétrique dont le niveau α est atteint, elle est partagée entre deux extrémités de probabilité α/2 chacune. Les valeurs critiques dépendent donc de la distribution de référence, du niveau α et du caractère unilatéral ou bilatéral du test.

Ne pas franchir la valeur critique ne prouve pas H₀ : cela signifie seulement que les données ne suffisent pas à la rejeter selon la règle fixée. Dans un sens plus général, une valeur critique est aussi un paramètre où le comportement qualitatif d'un phénomène change de part et d'autre du seuil.

Une machine est réglée pour remplir en moyenne 100 g. On suppose que les poids suivent une loi normale d'écart-type connu, égal à 10 g, et l'on pèse 25 sachets indépendants. Leur moyenne observée vaut 104,5 g. On teste H₀ : la moyenne réelle vaut 100 g, contre une différence dans l'un ou l'autre sens, au niveau α = 5 %.

1. Sous H₀, l'erreur-type de la moyenne vaut 10/√25 = 2 g.

2. Le test est bilatéral : les 5 % de risque sont partagés en deux zones de 2,5 %. Pour une loi normale centrée réduite, les valeurs critiques sont environ −1,96 et +1,96.

3. La statistique observée, notée z, standardise l'écart entre la moyenne observée et 100 g : $z=\frac{\mathrm{104,5}-100}{10\mathrm{/}\sqrt{25}}=\mathrm{2,25}z=\backslash frac\{104\{,\}5-100\}\{10/\backslash sqrt\{25\}\}=2\{,\}25$.

4. Comme 2,25 > 1,96, l'observation appartient à la zone de rejet. On rejette H₀ au niveau de 5 %. Le contrôle sur l'échelle d'origine donne les seuils 100 ± 1,96 × 2, soit 96,08 g et 103,92 g : 104,5 g dépasse bien la borne supérieure.

Avant de recueillir des données, on choisit le niveau α et le sens du test. Une alternative orientée, comme « la machine remplit trop », appelle un test unilatéral ; une différence possible dans les deux sens appelle un test bilatéral.

Après le calcul, on compare la statistique observée à la ou aux valeurs critiques de la bonne distribution. Dans l'exemple, z = 2,25 franchit +1,96 : la règle de décision conduit au rejet.

Un logiciel fournit souvent une valeur p plutôt qu'une valeur critique. Les deux approches donnent la même décision si elles emploient le même test et le même niveau α : franchir le seuil critique équivaut à obtenir une valeur p inférieure ou égale à α.

Plusieurs nombres interviennent dans un test, mais ils n'ont pas le même rôle.

La valeur critique est fixée par le modèle et le niveau α ; la statistique observée est calculée à partir de l'échantillon. Dans l'exemple, +1,96 est une valeur critique, tandis que 2,25 est la statistique observée.

La valeur critique borne une région sur l'axe de la statistique. La valeur p mesure, sous H₀, à quel point le résultat observé est extrême. On compare la première à la statistique observée, mais la seconde au niveau α.

Le niveau α est une probabilité choisie ; la valeur critique est le quantile qui en découle dans une distribution donnée. Ainsi, α = 5 % n'est pas une valeur critique en z : il conduit ici aux seuils approximatifs −1,96 et +1,96.

Une valeur critique n'est correcte qu'avec les hypothèses et la convention qui ont servi à la déterminer.

À α = 5 %, un test normal bilatéral utilise environ ±1,96, tandis qu'un test unilatéral place tout le risque dans une seule extrémité et utilise environ 1,645 ou −1,645. Il faut fixer l'alternative avant de voir les données, sans choisir ensuite le côté favorable.

Les seuils ±1,96 supposent ici une statistique normale centrée réduite. Avec une variance estimée sur un petit échantillon, une statistique de Student peut être requise et ses valeurs critiques dépendent aussi du nombre de degrés de liberté.

La convention d'inclusion de la frontière doit être annoncée. Pour une statistique continue, l'égalité exacte au seuil a une probabilité nulle sous H₀. Pour une statistique discrète, il peut être impossible d'obtenir exactement le niveau α ; on choisit alors une région critique dont la probabilité ne dépasse généralement pas α, ou un test randomisé si le cadre l'exige.

Enfin, rejeter H₀ indique une incompatibilité statistique au niveau choisi, pas nécessairement un effet important en pratique. Il faut aussi examiner la taille de l'effet et son incertitude.

La notion prend tout son sens lorsqu'on la replace dans la procédure complète d'un test : hypothèses, statistique, règle de décision et risque d'erreur s'y articulent.

Le lien entre test bilatéral et intervalle de confiance offre un autre point de vue : au même niveau, une valeur hypothétique rejetée se trouve hors de l'intervalle correspondant, sous les mêmes hypothèses.