Région critique

Imaginez une graduation sur laquelle vient se placer le résultat d'un test statistique. Avant d'observer ce résultat, on délimite une ou deux zones extrêmes. Elles rassemblent les valeurs qui seraient rares si l'hypothèse nulle était vraie.

Ces zones forment la région critique. Si le résultat mesuré y tombe, le test conduit à rejeter l'hypothèse nulle. Sinon, il ne la rejette pas. Le niveau de signification fixe le risque maximal de rejeter cette hypothèse alors qu'elle est vraie.

Un test statistique calcule, à partir des données, une statistique notée $TT$. La région critique, notée $WW$, est l'ensemble des valeurs possibles de $TT$ qui entraînent le rejet de l'hypothèse nulle, notée $H_{0}H\_0$. Elle est fixée avant l'observation des données.

Le niveau de signification, noté $\alpha \backslash alpha$, borne la probabilité de rejeter $H_{0}H\_0$ alors qu'elle est vraie. Si $H_{0}H\_0$ regroupe un ensemble ${\mathrm{\Theta }}_0\backslash Theta\_0$ de valeurs possibles du paramètre $\theta \backslash theta$, le choix de $WW$ doit contrôler cette probabilité uniformément :

Pour une hypothèse nulle simple, cette condition se réduit à ${\mathbb{P}}_{H_0}(T\in W)\le \alpha \backslash mathbb\{P\}\_\{H\_0\}(T\; \backslash in\; W)\; \backslash leq\; \backslash alpha$. Dans le cadre usuel d'une statistique ordonnée, un test unilatéral place la région critique dans une seule extrémité de la distribution. Pour une loi nulle symétrique et un test bilatéral symétrique, la région critique se partage entre les deux extrémités ; dans le cas général, les deux parties ne portent pas nécessairement la même probabilité. Son complément est traditionnellement appelé région d'acceptation, mais « région de non-rejet » décrit mieux la conclusion : ne pas rejeter $H_{0}H\_0$ ne prouve pas qu'elle est vraie.

On effectue un test bilatéral dont la statistique $ZZ$ suit la loi normale centrée réduite lorsque l'hypothèse nulle est vraie. Le niveau de signification choisi est 5 %. Les valeurs critiques, arrondies au centième, sont −1,96 et 1,96. La valeur observée est 2,10.

1. Comme le test est bilatéral, le risque de 5 % est réparti entre deux extrémités, soit environ 2,5 % de chaque côté.

2. La région critique est formée des valeurs inférieures ou égales à −1,96 et des valeurs supérieures ou égales à 1,96 : $W=(-\mathrm{\infty },-\mathrm{1,96}]\cup [\mathrm{1,96},+\mathrm{\infty })W\; =\; (-\backslash infty,-1\{,\}96]\; \backslash cup\; [1\{,\}96,+\backslash infty)$.

3. La statistique observée vaut 2,10. Comme 2,10 est supérieur à 1,96, elle appartient à la partie droite de la région critique. La décision du test est donc de rejeter l'hypothèse nulle au niveau de 5 %.

Le schéma de la distribution rend visibles les deux zones de rejet et la position de la valeur observée. Pour contrôler la décision sans le dessin, il suffit de vérifier que la valeur absolue de 2,10 est supérieure à 1,96.

Avant de recueillir les données, on choisit un test unilatéral si seule une variation dans un sens précis peut étayer l'alternative. Si une variation dans les deux sens compte, on choisit un test bilatéral ; dans le cas usuel symétrique, il comporte deux zones critiques.

Une fois la statistique calculée, on la compare aux valeurs critiques. Son appartenance à la région critique donne immédiatement la décision de rejet ; hors de cette région, la décision correcte est le non-rejet.

Avec une loi discrète, on retient des valeurs dont la probabilité totale ne dépasse le niveau fixé pour aucun paramètre compatible avec l'hypothèse nulle. Si aucune région n'atteint exactement ce niveau, le test obtenu est plus conservateur.

La valeur critique est une frontière numérique ; la région critique est l'ensemble situé au-delà de cette frontière. Dans l'exemple bilatéral, −1,96 et 1,96 sont les valeurs critiques, tandis que les deux extrémités forment la région critique.

La p-valeur dépend de la statistique effectivement observée. La région critique, elle, est fixée à partir du niveau de signification avant cette observation. Pour un même test, comparer la p-valeur au niveau choisi et vérifier l'appartenance à la région critique conduisent à la même décision.

La région de non-rejet est le complément de la région critique. Une valeur qui s'y trouve signifie seulement que le test ne rejette pas l'hypothèse nulle ; elle ne démontre pas que cette hypothèse est vraie.

Le seuil doit être choisi avant de regarder le résultat. Décider après coup entre une région unilatérale et une région bilatérale modifie le risque réel d'erreur ; il faut fixer l'alternative et le niveau de signification dans le protocole.

Dans l'exemple, 1,96 est une valeur arrondie. Si la statistique observée est exactement à la frontière affichée, la convention d'inclusion et la précision du calcul peuvent changer le verdict apparent. Il faut appliquer la règle définie par le test avec une précision suffisante, ou comparer directement la p-valeur au seuil de 5 %.

Pour une statistique discrète, les probabilités avancent par sauts. La probabilité de la région critique peut alors être strictement inférieure à 5 %, même si le niveau annoncé est 5 %. Il ne faut pas ajouter une valeur qui ferait dépasser le seuil ; le test est simplement conservateur.

Les formes « une demi-droite » et « deux demi-droites » supposent une statistique numérique ordonnée et une règle fondée sur ses extrêmes. Pour une statistique multidimensionnelle ou une règle différente, la région critique peut avoir une autre géométrie ; il faut la définir comme un ensemble de résultats, sans lui imposer cette forme.

La fiche valeur critique précise le rôle des frontières qui séparent la région de rejet de la région de non-rejet.