Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Région d'acceptation
En statistique, la région d'acceptation est l'ensemble des valeurs de la statistique de test pour lesquelles on ne rejette pas l'hypothèse nulle. Elle est le complémentaire de la région critique. La décision de ne pas rejeter l'hypothèse nulle ne signifie pas qu'elle est vraie, mais seulement que les données ne fournissent pas assez d'évidence contre elle au niveau de signification choisi. La frontière entre la région d'acceptation et la région critique est définie par la valeur critique du test.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la région d'acceptation à partir des valeurs critiques.
- Décider si une statistique observée conduit ou non au rejet de l'hypothèse nulle.
- Expliquer pourquoi un non-rejet ne prouve pas l'hypothèse nulle.
- Reconnaître les effets du seuil, du sens du test et de sa puissance.
En clair
Imaginez une ligne graduée sur laquelle tombe le résultat d'un test statistique. Une zone centrale rassemble les résultats jugés compatibles avec l'hypothèse de départ. Si le résultat y tombe, on ne rejette pas cette hypothèse. Cette zone est la région d'acceptation.
Son nom peut tromper : rester dans cette région ne valide pas l'hypothèse. Cela indique seulement que l'écart observé n'est pas assez marqué pour déclencher son rejet, compte tenu du seuil choisi.
Définition
Un test statistique part d'une hypothèse nulle, notée H0, et résume les données par une statistique de test, notée T. Avant d'observer les données, on fixe un niveau de signification, noté α. La règle de décision partage alors les valeurs possibles de T en deux ensembles : la région d'acceptation et la région critique.
Dans un test bilatéral à deux valeurs critiques a et b, la région d'acceptation peut s'écrire . Les valeurs a et b dépendent du test, de la loi de T sous H0 et du niveau α. La représentation sur une droite montre que les deux zones extérieures forment la région critique.
Si la valeur observée de T appartient à la région d'acceptation, la décision est de ne pas rejeter H0. Sinon, on rejette H0. Pour un test unilatéral, la région critique n'occupe qu'une extrémité et la région d'acceptation est délimitée par une seule valeur critique. Dans tous les cas, le non-rejet exprime une insuffisance d'évidence contre H0, jamais une preuve de sa vérité.
Un exemple, pas à pas
On réalise un test bilatéral dont la statistique Z suit, sous H0, la loi normale centrée réduite. Les données de décision sont les suivantes :
niveau de signification : α = 0,05 ;
valeurs critiques arrondies à deux décimales : −1,96 et 1,96 ;
valeur observée : z = 1,40.
niveau de signification : α = 0,05 ;
valeurs critiques arrondies à deux décimales : −1,96 et 1,96 ;
valeur observée : z = 1,40.
1. Les valeurs critiques donnent la région d'acceptation .
2. On compare la statistique observée aux deux bornes : −1,96 ≤ 1,40 ≤ 1,96. La valeur 1,40 appartient donc à la région d'acceptation.
3. La décision est de ne pas rejeter H0 au niveau de signification de 5 %. Le contrôle est immédiat : la distance de 1,40 à zéro est inférieure à 1,96. Ce résultat ne démontre pas H0 ; il signifie que ce test, avec ces données et ce seuil, ne fournit pas assez d'évidence pour la rejeter.
En pratique
Pour lire le résultat d'un test, repérez d'abord la statistique observée et les valeurs critiques. Si la statistique reste entre les deux bornes d'un test bilatéral, annoncez un non-rejet plutôt qu'une « acceptation prouvée » de H0.
Lorsque le test est unilatéral, vérifiez le sens de l'alternative avant de comparer. La région critique se trouve alors du côté des valeurs qui soutiennent cette alternative, et la région d'acceptation occupe le reste des valeurs possibles.
Dans un compte rendu, donnez le niveau de signification et la règle de décision avec le verdict. Ces éléments permettent de distinguer un résultat insuffisant pour rejeter H0 d'une conclusion qui prétendrait, à tort, avoir établi H0.
À ne pas confondre
Région d'acceptation et région critique. Elles sont complémentaires pour une règle de test donnée. Dans l'exemple, 1,40 appartient à la région d'acceptation, tandis que 2,10 appartiendrait à la région critique et conduirait au rejet de H0.
Ne pas rejeter et démontrer. Le premier verdict décrit le résultat d'un test au seuil choisi ; le second affirmerait que H0 est vraie. Une valeur z = 1,40 autorise seulement le premier verdict.
Région d'acceptation et intervalle de confiance. La première est un ensemble de valeurs possibles d'une statistique de test. Le second porte sur les valeurs possibles d'un paramètre. Le type de quantité placé sur l'axe permet de les distinguer.
Limites et pièges
Le seuil change la frontière. Une valeur peut appartenir à la région d'acceptation pour un niveau de signification et à la région critique pour un autre. Il faut donc toujours annoncer α avec la décision. Dans l'exemple normal bilatéral, les bornes arrondies ±1,96 correspondent au choix α = 0,05.
La frontière suit une convention précise. Dans un modèle continu, inclure ou exclure exactement une valeur critique ne change généralement pas la probabilité du test. Pour une statistique discrète, ce choix peut compter ; il faut appliquer la règle définie par le test.
Le non-rejet peut manquer un effet réel. Des données peu informatives peuvent laisser la statistique dans la région d'acceptation même si H0 est fausse : c'est le risque d'erreur de type II. Avant de conclure, il faut considérer la puissance du test et la quantité d'information disponible.
Les bornes ne sont pas toujours symétriques. Les valeurs −1,96 et 1,96 appartiennent à l'exemple normal bilatéral, pas à tous les tests. Pour un test unilatéral ou une autre loi, il faut utiliser les valeurs critiques propres au cadre choisi.
Pour aller plus loin
La Région critique permet d'étudier l'ensemble complémentaire qui déclenche le rejet de l'hypothèse nulle.
La valeur critique précise comment la frontière de la règle de décision est fixée.
La Puissance d'un test prolonge l'étude du non-rejet en mesurant la capacité du test à détecter un écart réel.
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