zone d'acceptation

Une pièce est lancée 20 fois. Obtenir 9, 10 ou 11 piles semble cohérent avec une pièce équilibrée. Obtenir 20 piles paraît au contraire très surprenant. Avant l'expérience, un test statistique fixe la frontière entre ces résultats ordinaires et ceux qui mettent le modèle en doute.

L'ensemble des résultats jugés suffisamment compatibles forme la zone d'acceptation. Si le résultat observé tombe dans cette zone, le test ne rejette pas le modèle. Il ne prouve pas pour autant que le modèle est vrai.

Dans un test statistique, la zone d'acceptation est l'ensemble des valeurs de la statistique de test qui conduisent à ne pas rejeter le modèle, ou hypothèse nulle, examiné. Cette hypothèse est notée H₀. La statistique de test, notée T, résume les données observées. La zone est choisie avant de lire le résultat, à partir de la loi de T lorsque l'hypothèse nulle est vraie.

Si A désigne la zone d'acceptation et si α désigne le risque maximal de rejeter à tort l'hypothèse nulle, on construit usuellement A de sorte que $P_{H_0}(T\in A)\ge 1-\alpha P\_\{H\_0\}(T\; \backslash in\; A)\; \backslash ge\; 1-\backslash alpha$. Son complémentaire est la zone de rejet, aussi appelée région critique. Une valeur observée dans cette région entraîne le rejet de l'hypothèse nulle au seuil choisi.

La zone d'acceptation est souvent un intervalle central, mais pas toujours. Un test unilatéral peut conserver toutes les valeurs situées d'un même côté d'une borne. Pour une statistique discrète, elle peut être un ensemble d'entiers et le risque effectivement obtenu peut être inférieur à α. Le verdict signifie seulement que les données ne sont pas assez incompatibles avec le modèle pour le rejeter.

On teste l'hypothèse qu'une pièce est équilibrée. Les données sont 20 lancers indépendants, deux issues par lancer et un seuil de 5 %. La statistique X est le nombre de piles observé ; sous l'hypothèse testée, chaque lancer donne pile avec une probabilité de 1/2.

1. On calcule la probabilité d'obtenir au plus 5 piles : $P(X\le 5)=21700\mathrm{/}1048576\approx \mathrm{0,0207}P(X\; \backslash le\; 5)=21700/1048576\; \backslash approx\; 0\{,\}0207$.

2. Par symétrie, la probabilité d'obtenir au moins 15 piles est la même. Les deux extrémités totalisent donc environ 0,0414, soit 4,14 %, ce qui ne dépasse pas 5 %.

3. La zone d'acceptation est formée des nombres entiers de 6 à 14. La zone de rejet contient 0 à 5 et 15 à 20.

Si l'expérience donne 13 piles, 13 appartient à la zone d'acceptation : le test ne rejette pas l'équilibre de la pièce au seuil de 5 %. Pour contrôler la construction, on vérifie que les deux zones sont disjointes, couvrent les 21 résultats possibles et que la probabilité de la zone de rejet vaut environ 4,14 %.

Pour appliquer un test déjà construit, on calcule la statistique sur les données puis on repère sa valeur dans la zone d'acceptation ou dans la zone de rejet. Dans l'exemple, 13 piles sur 20 conduisent à ne pas rejeter la pièce équilibrée.

Pour choisir entre un test bilatéral et un test unilatéral, on regarde la question posée avant l'observation. Toute différence avec le modèle appelle deux zones de rejet ; une différence recherchée dans un seul sens appelle une seule extrémité.

Quand un logiciel fournit une valeur p plutôt qu'une zone explicite, on compare cette valeur au seuil α. Une valeur p supérieure à α produit le même verdict de non-rejet ; une valeur p inférieure ou égale à α conduit au rejet.

Un intervalle de confiance porte sur les valeurs plausibles d'un paramètre inconnu, tandis qu'une zone d'acceptation porte sur les valeurs possibles d'une statistique calculée sur l'échantillon. Dans l'exemple, 6 à 14 est une zone pour le nombre de piles, pas un intervalle estimant la probabilité de pile.

La valeur p est une probabilité calculée à partir du résultat observé ; la zone d'acceptation est un ensemble fixé pour la règle de décision. Ainsi, 13 est comparé aux bornes 6 et 14, alors qu'une valeur p serait comparée au seuil de 5 %.

Non-rejet ne signifie pas preuve. Une valeur dans la zone d'acceptation indique seulement que le test n'a pas détecté d'incompatibilité suffisante. Il faut formuler le verdict « ne pas rejeter l'hypothèse nulle », sans conclure qu'elle est vraie.

Le seuil nominal peut ne pas être atteint exactement. Avec 20 lancers, les résultats sont entiers. La zone de rejet 0–5 et 15–20 a une probabilité d'environ 4,14 %, et l'élargir à 6 et 14 ferait dépasser 5 %. Il faut annoncer le risque effectif ou employer un test randomisé si un niveau exact est indispensable.

La zone dépend du test choisi. Une alternative bilatérale place ici le rejet dans les deux extrémités. Une question unilatérale ne conserve pas les mêmes bornes. Il faut fixer l'alternative avant d'examiner les données, sinon le risque annoncé n'est plus garanti.

Une zone d'acceptation n'est pas nécessairement un intervalle. Avec une statistique multidimensionnelle ou une règle non monotone, l'ensemble peut avoir une autre forme. Il faut décrire l'ensemble réel des valeurs de non-rejet plutôt que lui imposer deux bornes.

Le glossaire test replace la règle de décision dans le vocabulaire général des tests statistiques.

L'article Tester sans se tromper prolonge la lecture vers les erreurs possibles et les précautions d'interprétation.

La fiche intervalle de confiance approfondit l'outil d'estimation qu'il faut distinguer d'une zone portant sur une statistique de test.