test de Fisher-Snedecor

Deux machines remplissent des sachets. Leur poids moyen peut être identique, mais l'une produit des poids beaucoup plus dispersés. Le test de Fisher-Snedecor examine si cet écart de dispersion peut raisonnablement venir du hasard de l'échantillonnage.

On estime la variance de chaque groupe, puis on divise l'une par l'autre. Un rapport proche de 1 va dans le sens de variances égales. Un rapport éloigné de 1 apporte un indice contraire, à apprécier avec la taille des deux échantillons.

Le test de Fisher-Snedecor, ou test F de comparaison de deux variances, est un test d'hypothèse paramétrique. Il s'applique à deux échantillons indépendants d'au moins deux observations chacun, dont les observations sont supposées provenir de populations normales. L'hypothèse nulle affirme que les deux variances de population, notées σ₁² et σ₂², sont égales.

Les variances d'échantillon non biaisées, calculées avec n_i − 1 au dénominateur, sont notées s₁² et s₂². La statistique est leur rapport : $F=\frac{s_1^2}{s_2^2}F=\backslash frac\{s\_1^2\}\{s\_2^2\}$. Sous l'hypothèse nulle, elle suit une loi F dont les degrés de liberté sont n₁ − 1 au numérateur et n₂ − 1 au dénominateur, où n₁ et n₂ sont les effectifs.

Pour un test bilatéral, les valeurs trop petites comme trop grandes conduisent à rejeter l'égalité. Placer la plus grande variance au numérateur rend F au moins égal à 1, mais impose d'utiliser la queue correspondante et de tenir compte de cet ordre dans les degrés de liberté. Le même type de loi intervient en ANOVA et dans le test global d'une régression, avec une statistique construite à partir de variabilités différentes.

Deux machines A et B sont comparées à partir de poids supposés indépendants et normalement distribués. Chaque échantillon contient 10 sachets. La variance observée vaut 16 g² pour A et 4 g² pour B. Le seuil choisi est 5 % pour un test bilatéral.

1. La plus grande variance est placée au numérateur.
2. Le rapport calculé est $F=\frac{16}{4}=4F=\backslash frac\{16\}\{4\}=4$.
3. Les deux nombres de degrés de liberté valent 10 − 1 = 9.
4. Pour 9 et 9 degrés de liberté, la borne supérieure bilatérale au seuil de 5 % vaut environ 4,026.
5. Comme 4 est inférieur à 4,026, l'égalité des variances n'est pas rejetée au seuil de 5 %.

Le contrôle est refaisable : la p-valeur bilatérale est d'environ 0,051, juste au-dessus de 0,05. Cette proximité invite à rapporter la valeur obtenue plutôt qu'à résumer le résultat par une certitude d'égalité. Le schéma met en regard les deux variances et leur rapport.

En contrôle de production, le test compare la régularité de deux machines à partir de mesures indépendantes. Le geste utile consiste à examiner la dispersion, pas seulement les moyennes.

Avant un test t classique supposant des variances égales, il peut documenter l'homogénéité des variances. Si les observations comportent des valeurs aberrantes ou s'écartent nettement de la normalité, un test de Levene ou de Brown-Forsythe est généralement préférable.

En ANOVA ou en régression, une statistique F compare une variabilité expliquée à une variabilité résiduelle. Le praticien lit alors un test global du modèle ; il ne compare pas directement les variances de deux populations.

Test F d'égalité de deux variances et test F d'ANOVA. Le premier divise deux variances d'échantillon. Le second compare une variabilité entre groupes à une variabilité dans les groupes. Une ANOVA à trois groupes tranche immédiatement : ce n'est pas une comparaison de deux variances de population.

Test F et test du khi-deux sur une variance. Le test F compare deux variances estimées et possède deux nombres de degrés de liberté. Pour une population normale, le test du khi-deux permet de comparer sa variance à une valeur fixée. Si une norme impose une telle valeur, ce second cadre convient ; si elle définit une plage ou une tolérance, il faut une procédure de conformité ou d'équivalence adaptée.

Normalité douteuse. Le test exact est sensible aux valeurs aberrantes et aux distributions non normales. Un histogramme très asymétrique ou quelques observations isolées sont des alertes visibles ; un test robuste comme Brown-Forsythe est alors plus approprié.

Données appariées ou dépendantes. Deux mesures prises sur les mêmes individus ne forment pas deux échantillons indépendants. Il faut employer une méthode qui modélise cette dépendance au lieu d'appliquer directement le rapport F classique.

Variance nulle au dénominateur. Si toutes les valeurs du second groupe sont identiques, sa variance observée vaut 0 et le rapport n'est pas défini. Ce cas doit être signalé et examiné directement, sans produire artificiellement une statistique F infinie.

Non-rejet pris pour une preuve. Dans l'exemple, p ≈ 0,051 ne prouve pas que les variances sont égales ; il indique seulement que les données ne franchissent pas le seuil de 0,05. Une conclusion d'équivalence exige une marge d'écart acceptable fixée à l'avance et une procédure adaptée.

Anova — Pour voir comment une statistique F compare variabilité entre groupes et variabilité résiduelle.

écart-type — Pour relier la variance à une mesure de dispersion exprimée dans l'unité des observations.

Régression linéaire — Pour situer le test F global dans l'évaluation d'un modèle de régression.