Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Gosset William
William Sealy Gosset, statisticien britannique connu sous le pseudonyme « Student », a conçu le test de Student pour tirer des conclusions sur une moyenne lorsque la variance de la population est inconnue et estimée sur un petit échantillon. Dans sa forme exacte à un échantillon, ce test mesure l’écart entre la moyenne observée et une valeur de référence, sous l’hypothèse d’observations indépendantes issues d’une population normale.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer Gosset chez Guinness et expliquer son pseudonyme Student.
- Relier les petits échantillons au mécanisme du test de Student.
- Refaire un calcul à un échantillon et en interpréter la décision.
- Reconnaître les principales hypothèses et limites du test.
En clair
En 1899, William Sealy Gosset entre comme chimiste à la brasserie Guinness. À Dublin, puis à Londres, il doit tirer des conclusions fiables à partir de petits échantillons, situation courante dans le contrôle de la production.
Son idée centrale est de tenir compte d'une incertitude supplémentaire : avec peu d'observations, la dispersion réelle reste inconnue et doit être estimée avec les mêmes données. Le test publié sous le nom de « Student » ajuste cette fragilité. Il indique si un écart de moyenne paraît trop grand pour être attribué aux seules fluctuations de l'échantillonnage.
Définition
William Sealy Gosset (1876–1937) est un statisticien britannique formé aux mathématiques et à la chimie à Oxford. Embauché en 1899 comme chimiste par Guinness, il travaille à Dublin puis à Londres. Les petits échantillons rencontrés dans le contrôle de la qualité orientent ses recherches. L'interdiction faite aux employés de signer des publications scientifiques l'amène à publier sous le pseudonyme « Student ».
Le test de Student confronte une moyenne observée à une valeur supposée, ou compare deux moyennes. Dans sa version à un échantillon, la moyenne observée est notée x̄, la moyenne supposée sous l'hypothèse nulle est notée μ0, l'écart-type estimé est noté s et le nombre d'observations est noté n. La statistique de test est :
Si les observations sont indépendantes et proviennent d'une population normale, cette statistique suit sous l'hypothèse nulle une loi de Student à n − 1 degrés de liberté. D'autres versions testent deux moyennes ou la nullité d'un coefficient de régression linéaire. Le choix précis du test dépend alors du plan d'observation et des hypothèses retenues sur les variances.
Un exemple, pas à pas
Un contrôle fictif porte sur cinq mesures indépendantes, exprimées dans une même unité : 9, 10, 11, 10 et 10. La valeur de référence est 9. La série se concentre autour de 10, tandis que la référence reste à une unité de cette moyenne. On suppose ici que la population mesurée est normale.
1. La somme des cinq mesures vaut 50, donc la moyenne observée x̄ vaut 50 ÷ 5 = 10.
2. Les écarts à la moyenne sont −1, 0, 1, 0 et 0. La somme de leurs carrés vaut 2.
3. Avec n − 1 = 4 au dénominateur, la variance estimée vaut 2 ÷ 4 = 0,5. L'écart-type estimé s vaut √0,5 ≈ 0,707.
4. L'erreur-type de la moyenne vaut s ÷ √5 ≈ 0,316. La statistique calculée vaut donc t = (10 − 9) ÷ 0,316 ≈ 3,162.
5. Pour un test bilatéral au seuil de 5 % et 4 degrés de liberté, la valeur critique est environ 2,776. Comme |3,162| > 2,776, l'hypothèse d'une moyenne égale à 9 est rejetée. Le contrôle se refait en vérifiant successivement 50, 2, 0,5 puis 3,162.
En pratique
En contrôle de qualité, le test à un échantillon confronte la moyenne de quelques mesures à une valeur de référence. Si la distribution est très dissymétrique ou comporte une valeur aberrante, un examen des données doit précéder le calcul.
Pour comparer deux groupes indépendants, une version à deux échantillons est nécessaire. Lorsque leurs dispersions ne paraissent pas comparables, la variante de Welch est préférable au test qui suppose des variances égales.
Dans une régression linéaire, un test de Student peut examiner si un coefficient est compatible avec zéro. Le geste utile consiste à lire ensemble l'estimation, son erreur-type, l'intervalle de confiance et le contexte, plutôt qu'une seule valeur de test.
À ne pas confondre
Le test de Student n'est pas le test fondé sur la loi normale, souvent appelé test z. Le premier estime l'écart-type de la population à partir de l'échantillon. Le second suppose cet écart-type connu ou s'appuie sur un cadre asymptotique justifié. Avec cinq mesures et une dispersion inconnue, le test de Student est le choix cohérent.
Un test pour échantillons indépendants ne se confond pas avec un test apparié. Si chaque mesure après traitement correspond à la même unité observée avant traitement, ce sont les différences au sein des paires qu'il faut analyser. Deux groupes sans correspondance individuelle appellent au contraire un test indépendant.
Enfin, la loi de Student est la distribution de référence utilisée pour calibrer le test sous ses hypothèses. Le test de Student est la procédure de décision qui compare une statistique calculée aux valeurs de cette loi.
Limites et pièges
Avec un très petit échantillon, une forte dissymétrie ou une valeur aberrante peut déplacer la moyenne et l'écart-type. Le symptôme est un résultat dominé par une seule observation. Il faut alors examiner la série, rechercher une erreur de mesure et envisager une méthode robuste adaptée.
L'indépendance ne se lit pas dans la formule. Des mesures répétées sur le même objet ne forment pas cinq observations indépendantes. Il faut représenter l'appariement ou la dépendance dans l'analyse au lieu de gonfler artificiellement la taille de l'échantillon.
Le seuil de 5 % de l'exemple est une convention de décision, non une frontière scientifique universelle. Un résultat juste au-dessus ou au-dessous ne mesure ni l'importance pratique de l'écart ni la probabilité que l'hypothèse soit vraie. L'effet estimé et son intervalle de confiance restent nécessaires.
Multiplier les tests augmente le risque d'obtenir au moins un rejet fortuit. Le symptôme est une longue série de comparaisons dont seule la plus favorable est retenue. Il faut annoncer la famille de tests et appliquer, si nécessaire, une correction ou une stratégie d'analyse prévue à l'avance.
Pour aller plus loin
La loi de Student montre la distribution qui calibre le test et le rôle du nombre de degrés de liberté.
L'écart-type précise la mesure de dispersion estimée dans le dénominateur de la statistique t.
La régression linéaire prolonge l'usage du test vers l'étude de la nullité d'un coefficient.
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