test paramétrique

Une machine remplit 25 paquets. Leur masse moyenne s'écarte un peu de la valeur annoncée. Cet écart révèle-t-il un vrai dérèglement ou une fluctuation ordinaire ?

Un test paramétrique répond en adoptant un modèle probabiliste décrit par quelques paramètres, comme une moyenne et une variance. Il mesure si les observations restent plausibles lorsque ces paramètres prennent les valeurs supposées. La conclusion dépend donc autant de l'écart observé que de la dispersion, du nombre de mesures et de la pertinence du modèle choisi.

Un test paramétrique est une règle de décision statistique construite dans une famille de lois de probabilité décrite par un nombre fini de paramètres. Il confronte une hypothèse nulle portant sur ces paramètres à une hypothèse concurrente. Par exemple, le paramètre étudié peut être la moyenne d'une population normale ou la probabilité de succès d'une loi binomiale.

Le test transforme les données en une statistique dont la distribution sous l'hypothèse nulle est connue ou calculable. Pour une moyenne normale, la variable observée numéro i, notée X_i, peut être modélisée par $X_i\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)X\_i\; \backslash sim\; \backslash mathcal\{N\}(\backslash mu,\backslash sigma^2)$, où μ est la moyenne et σ² la variance. Une valeur p mesure alors, sous l'hypothèse nulle, la probabilité d'obtenir un résultat au moins aussi extrême que celui observé.

Les conditions exactes dépendent du test : indépendance ou structure de dépendance explicitement modélisée, famille de lois adéquate, mode d'échantillonnage pertinent et, parfois, égalité des variances. « Paramétrique » ne signifie donc pas toujours « normal ». La loi binomiale constitue elle aussi un modèle paramétrique. Si les hypothèses changent, la loi de la statistique et la procédure de décision peuvent changer avec elles.

Une machine doit remplir des paquets avec une masse moyenne de 500 g. On modélise les masses comme indépendantes et normales, avec un écart-type connu de 10 g. Un échantillon de 25 paquets donne une moyenne de 502 g. On teste, au seuil de 5 %, l'hypothèse nulle « moyenne égale à 500 g » contre l'hypothèse bilatérale « moyenne différente de 500 g ».

1. L'erreur standard de la moyenne vaut :

2. L'écart observé à la valeur testée est 502 − 500 = 2 g.

3. La statistique standardisée, notée z, vaut :

4. Sous l'hypothèse nulle, z suit la loi normale centrée réduite. Pour ce test bilatéral, la valeur p est :

Comme 0,317 dépasse 0,05, les données ne conduisent pas à rejeter l'hypothèse nulle. Le contrôle par valeur critique donne le même verdict : la valeur absolue de z, égale à 1, reste inférieure à la valeur critique, environ 1,96. Cela ne prouve pas que la moyenne vaut exactement 500 g ; l'échantillon ne montre simplement pas d'écart statistiquement significatif au seuil choisi.

Pour contrôler une moyenne, on examine le plan d'échantillonnage, la forme des données et les valeurs atypiques. Lorsque l'écart-type de la population est inconnu, un test de Student convient dans son cadre d'hypothèses ; le test z de l'exemple exigeait au contraire un écart-type connu.

Pour comparer deux moyennes, l'égalité des variances ne doit pas être supposée par habitude. Si les dispersions diffèrent, la variante de Welch est généralement la procédure paramétrique adaptée, sous réserve que les autres hypothèses du modèle restent plausibles.

Pour une proportion de succès, le modèle naturel peut être binomial plutôt que normal. Lorsque le modèle paramétrique paraît inadéquat ou que quelques valeurs extrêmes dominent un petit échantillon, une méthode robuste, une permutation ou un test non paramétrique peut être préférable.

Test paramétrique et test non paramétrique. Le premier calcule sa statistique dans une famille de lois paramétrée déterminée. Le second repose sur un autre cadre, souvent les rangs, les signes ou les permutations. Une normalité plausible ne suffit pas toujours à choisir : le paramètre visé et le plan d'échantillonnage comptent aussi.

Test et estimation. Un test évalue la compatibilité des données avec une hypothèse ; une estimation fournit une valeur ou un intervalle pour un paramètre. Dans l'exemple, le test ne rejette pas 500 g, tandis que 502 g demeure l'estimation ponctuelle de la moyenne.

Non-rejet et preuve d'égalité. Une valeur p supérieure au seuil signifie que l'écart observé n'est pas assez probant dans le test choisi. Elle n'établit ni l'égalité exacte, ni l'absence d'un effet trop faible pour être détecté par l'échantillon.

Un seuil n'est pas une frontière de vérité. Dans l'exemple, p ≈ 0,317 est supérieur à 0,05, donc l'hypothèse nulle n'est pas rejetée. Un résultat juste au-dessus ou au-dessous de 0,05 ne devient pas soudain certain ; la taille de l'effet et l'incertitude restent à examiner.

Un grand échantillon ne répare pas la dépendance. Des mesures répétées sur le même objet peuvent paraître nombreuses sans constituer des observations indépendantes. Il faut alors modéliser cette dépendance ou employer une procédure conçue pour des données appariées ou groupées.

Tester la normalité ne règle pas tout. Un petit échantillon détecte mal certains écarts au modèle, tandis qu'un très grand échantillon peut signaler un écart sans conséquence pratique. Les graphiques, le mécanisme de collecte et la sensibilité du test complètent ce diagnostic.

Choisir le test après avoir vu le résultat fausse le risque annoncé. Essayer plusieurs transformations ou variantes puis garder la plus favorable augmente les occasions de rejet. Le modèle, les exclusions et l'hypothèse doivent être fixés avant la décision, ou l'analyse doit intégrer cette sélection.

Test d'hypothèse — Pour replacer statistique de test, hypothèse nulle, valeur p et décision dans leur cadre général.

test non paramétrique — Pour comparer les hypothèses de modèle et les critères qui orientent vers une autre famille de procédures.

loi binomiale — Pour étudier un modèle paramétrique discret fondé sur un nombre d'essais et une probabilité de succès.

L'omniprésente loi normale — Pour approfondir la distribution continue qui sous-tend le calcul de l'exemple.