Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
loi de Student
La loi de Student, ou loi t, est une loi de probabilité continue introduite par William Sealy Gosset en 1908, sous le pseudonyme Student. Elle est paramétrée par un entier ν ≥ 1, appelé degré de liberté (ou nombre de degrés de liberté). Sa densité est de la forme f(x) ∝ (1 + x²/ν)^(−(ν+1)/2). La loi de Student apparaît naturellement dans l'inférence statistique sur la moyenne d'une population normale : si X₁, …, Xₙ sont des variables aléatoires indépendantes de même loi normale N(m, σ²), alors la statistique T = (X̄ − m) / (S/√n), où X̄ est la moyenne empirique et S l'écart-type empirique corrigé, suit une loi de Student à n − 1 degrés de liberté. Elle est notamment utilisée pour le test de Student, qui permet de tester l'hypothèse sur la valeur de la moyenne d'une population quand la variance est inconnue. Lorsque ν tend vers l'infini, la loi de Student converge vers la loi normale centrée réduite.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le cadre où la loi de Student s'applique.
- Lire la statistique T et ses n − 1 degrés de liberté.
- Refaire un calcul complet sur dix mesures.
- Distinguer loi t, test de Student et loi normale centrée réduite.
En clair
Dix mesures donnent une moyenne, mais elles ne révèlent pas exactement la moyenne de toute la population. L'incertitude augmente encore lorsque sa dispersion est inconnue et doit être estimée avec ces mêmes mesures.
La loi de Student décrit alors les fluctuations d'un écart à la moyenne, rapporté à cette dispersion estimée. Son nombre de degrés de liberté dépend de la taille de l'échantillon. Avec beaucoup d'observations, son comportement se rapproche de celui de la loi normale centrée réduite.
Définition
La loi de Student, aussi appelée loi t, est une loi de probabilité continue. Son paramètre est un entier ν au moins égal à 1, nommé nombre de degrés de liberté. Pour une valeur réelle x, sa densité est proportionnelle à . La présence de x² rend cette densité symétrique autour de zéro.
Elle intervient lorsque l'on étudie la moyenne d'une population normale sans connaître sa variance. On considère n variables aléatoires indépendantes X1, …, Xn, toutes de loi normale de moyenne m et de variance σ². La moyenne empirique est notée X̄ et l'écart-type empirique corrigé est noté S. La statistique obtenue en divisant l'écart X̄ − m par l'erreur standard estimée S/√n suit alors une loi de Student à n − 1 degrés de liberté.
Cette loi fonde notamment le test de Student sur la valeur d'une moyenne. Quand le nombre ν de degrés de liberté tend vers l'infini, la loi de Student converge vers la loi normale centrée réduite.
Le principe
Soient n observations indépendantes X1, …, Xn d'une même loi normale de moyenne m et de variance σ² inconnue. On note X̄ leur moyenne empirique et S leur écart-type empirique corrigé. Alors la statistique T vérifie :
Le numérateur mesure l'écart observé à la moyenne supposée ; le dénominateur le rapporte à l'incertitude estimée. La loi de référence possède n − 1 degrés de liberté.
Quand l'utiliser
Le résultat s'applique à un échantillon de n observations numériques provenant d'une population normale. Les observations doivent être indépendantes et partager la même moyenne m ainsi que la même variance σ². Cette variance n'est pas connue : elle est estimée par l'écart-type empirique corrigé S calculé sur l'échantillon.
Il faut au moins deux observations pour que n − 1 soit au moins égal à 1 et pour disposer d'une estimation corrigée de la dispersion. Une fois ces conditions réunies, le quotient formé avec X̄ et S possède la loi t à n − 1 degrés de liberté.
Si les mesures ne sont pas indépendantes, par exemple lorsque chaque valeur dépend de la précédente, l'énoncé ne s'applique pas tel quel. Il faut alors employer un modèle qui prend explicitement cette dépendance en compte.
Un exemple, pas à pas
Un laboratoire compare la moyenne m d'une population normale à la valeur supposée 12. Il recueille dix mesures indépendantes : 11,5 ; 11,7 ; 11,9 ; 12,1 ; 12,3 ; 12,5 ; 12,7 ; 12,9 ; 13,1 ; 13,3. La variance de la population est inconnue.
1. La somme des dix mesures vaut 124, donc leur moyenne empirique X̄ vaut 124/10 = 12,4.
2. La somme des carrés des écarts à 12,4 vaut 3,30. L'écart-type empirique corrigé S vaut donc √(3,30/9), soit environ 0,606.
3. L'erreur standard estimée est S/√10, soit environ 0,192.
4. La statistique observée est . Sous l'hypothèse m = 12, elle se lit dans une loi de Student à 10 − 1 = 9 degrés de liberté.
Le contrôle est refaisable : les écarts à 12,4 vont par paires opposées, donc leur somme est nulle, et le quotient 0,4/0,192 redonne environ 2,09. La figure matérialise la moyenne observée et la valeur testée avant ce calcul.
En pratique
Pour tester une moyenne avec une variance inconnue, on calcule la moyenne et l'écart-type corrigé de l'échantillon, puis la statistique T. La loi t fournit la référence adaptée au nombre n − 1 de degrés de liberté.
Pour construire un intervalle autour d'une moyenne dans le même cadre normal, on utilise aussi l'erreur standard S/√n et un repère issu de la loi de Student. La largeur obtenue reflète l'estimation de la variance à partir des données.
Lorsque la variance de la population est connue, son écart-type σ remplace S : la loi normale centrée réduite devient alors la référence. Le critère observable est donc simple : la dispersion de la population est-elle connue ou seulement estimée ?
À ne pas confondre
Loi de Student et test de Student. La première est une loi de probabilité ; le second est une procédure qui l'utilise. Une courbe de densité relève de la loi, tandis qu'une décision sur une moyenne relève du test.
Loi de Student et loi normale centrée réduite. Dans le problème de moyenne décrit ici, la loi t intervient quand l'écart-type de la population est inconnu et remplacé par S. Si σ est connu, la statistique normalisée utilise σ et suit la loi normale centrée réduite.
Écart-type corrigé S et erreur standard S/√n. Le premier décrit la dispersion des observations ; la seconde quantifie l'incertitude estimée sur leur moyenne. Dans l'exemple, ils valent environ 0,606 et 0,192 : ils ne sont donc pas interchangeables.
Limites et pièges
Un seul relevé. Avec n = 1, le nombre n − 1 de degrés de liberté vaut 0, alors que la loi de Student décrite ici exige ν ≥ 1. L'écart-type corrigé n'est pas disponible ; il faut recueillir au moins une seconde observation.
Données dépendantes. Une succession présentant une dépendance visible ne satisfait pas l'hypothèse d'indépendance. Appliquer directement la formule donnerait une référence injustifiée ; il faut modéliser la dépendance avant d'étudier la moyenne.
Population non normale. L'énoncé exact donné pour T suppose une même loi normale pour les observations. Si cette hypothèse n'est pas défendable, la conclusion « T suit exactement une loi t » ne peut pas être affirmée à partir de cet énoncé.
Approximation normale prématurée. La convergence vers la loi normale centrée réduite concerne la limite où ν tend vers l'infini. Pour un nombre fini de degrés de liberté, comme ν = 9 dans l'exemple, la loi de référence reste la loi de Student correspondante.
Pour aller plus loin
intervalle de confiance — Relier l'erreur standard et la loi de référence à une plage de valeurs plausibles pour la moyenne.
écart-type — Distinguer la dispersion des observations de l'incertitude sur leur moyenne, puis retrouver le rôle de S dans la statistique T.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres