Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Anova
L'analyse de la variance (ANOVA) est une méthode statistique permettant de tester si les moyennes de plusieurs populations sont égales, en comparant la variabilité entre groupes à la variabilité au sein des groupes. L'ANOVA à un facteur teste l'effet d'un seul facteur catégoriel sur une variable quantitative. Elle repose sur la décomposition de la variance totale en une partie expliquée par le facteur et une partie résiduelle. Sous l'hypothèse nulle d'égalité des moyennes et dans le modèle classique — indépendance, normalité des erreurs et variance commune —, la statistique de test suit une loi de Fisher-Snedecor.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer la variation entre groupes de la variation interne.
- Recalculer une ANOVA à un facteur sur neuf scores.
- Reconnaître les hypothèses, limites et alternatives principales.
En clair
Trois groupes obtiennent les scores 4, 5, 6 ; 6, 7, 8 ; et 8, 9, 10. Leurs moyennes semblent décalées, mais chaque groupe présente aussi ses propres fluctuations. L’ANOVA met ces deux mouvements en balance : l’écart des moyennes entre groupes et la dispersion des scores dans chaque groupe.
Si le premier mouvement domine nettement le second, l’hypothèse d’une moyenne commune devient peu compatible avec les données. Le test ne dit toutefois pas, à lui seul, quels groupes diffèrent.
Définition
L’analyse de la variance à un facteur compare les moyennes de plusieurs populations. La variable observée est quantitative et le facteur qui forme les groupes est catégoriel. Dans le modèle classique, les observations sont indépendantes, les erreurs sont normales dans chaque groupe et leur variance est commune. On note k le nombre de groupes, ni l’effectif du groupe i, N l’effectif total, yij la je observation du groupe i, sa moyenne et la moyenne générale. La somme des carrés totale se décompose exactement en une part entre groupes et une part au sein des groupes :
Sous l’hypothèse nulle H0, toutes les moyennes de population sont égales. La statistique F divise le carré moyen entre groupes par le carré moyen interne : . Sous H0 et les hypothèses du modèle, elle suit une loi de Fisher-Snedecor à k − 1 et N − k degrés de liberté. Une ANOVA multifactorielle traite plusieurs facteurs ; elle dépasse le cas à un facteur défini ici.
Un exemple, pas à pas
On compare trois groupes de même effectif. Le groupe A contient les scores 4, 5 et 6 ; le groupe B, 6, 7 et 8 ; le groupe C, 8, 9 et 10. Il y a donc neuf observations.
1. Calculer les moyennes. Les moyennes des groupes A, B et C valent respectivement 5, 7 et 9. La moyenne générale vaut 7.
2. Mesurer la variation entre groupes. Chaque groupe compte trois scores, donc . Avec deux degrés de liberté, le carré moyen entre groupes vaut 12.
3. Mesurer la variation interne. Dans chaque groupe, les écarts à la moyenne sont −1, 0 et 1. Ainsi, . Avec six degrés de liberté, le carré moyen interne vaut 1.
4. Former le rapport. On obtient F = 12 / 1 = 12, avec 2 et 6 degrés de liberté. Une décision exige encore un seuil choisi ou une valeur p. Le contrôle est refaisable : 24 + 6 = 30, soit la somme totale des carrés autour de 7.
En pratique
Pour comparer plusieurs traitements appliqués à des groupes indépendants, l’ANOVA à un facteur fournit un test global des moyennes. Avec seulement deux groupes, un test t bilatéral indépendant donne le même verdict au même seuil dans le cadre classique.
Pour comparer plusieurs réglages d’un procédé, on examine d’abord la dispersion et les valeurs atypiques de chaque groupe. Si les variances diffèrent nettement, l’ANOVA de Welch est préférable à la version classique.
Lorsque les mêmes sujets sont mesurés plusieurs fois, les observations ne sont plus indépendantes. Une ANOVA à mesures répétées ou un modèle adapté à cette dépendance remplace alors l’ANOVA pour groupes indépendants.
À ne pas confondre
ANOVA et test t. Le test t bilatéral classique compare deux moyennes ; l’ANOVA teste simultanément l’égalité de plusieurs moyennes. Pour trois groupes A, B et C, multiplier les tests t sans correction ne remplace pas le test global.
ANOVA et test d’indépendance du khi-deux. L’ANOVA porte sur une variable quantitative répartie en groupes. Le khi-deux d’indépendance porte sur des effectifs croisés de variables catégorielles. Des scores 4, 5, 6 relèvent du premier cadre ; des comptes par catégorie, du second.
ANOVA et comparaison des variances. Son nom vient de la décomposition de la variabilité, mais l’hypothèse testée concerne les moyennes. Dans l’exemple, le rapport F = 12 sert à tester l’égalité des trois moyennes, pas celle de trois variances.
Limites et pièges
Une statistique F élevée ne localise pas la différence. Le symptôme est un test global rejeté sans savoir quels groupes s’écartent. Il faut alors employer des comparaisons planifiées ou post-hoc qui contrôlent les comparaisons multiples.
Des dispersions très inégales fragilisent la version classique. Des groupes d’étendues nettement différentes, surtout avec des effectifs inégaux, constituent un signal visible. Il faut diagnostiquer cette hétérogénéité et envisager l’ANOVA de Welch.
La dépendance change le modèle. Si une même personne fournit plusieurs scores, les lignes ne sont pas des observations indépendantes. Il faut conserver l’identité du sujet et employer une méthode pour mesures répétées ou données corrélées.
Une variance interne nulle est un cas dégénéré. Si tous les scores sont identiques dans chaque groupe, le dénominateur du rapport F vaut 0 et le rapport ordinaire n’est pas défini. Il faut signaler cette absence de dispersion plutôt que produire une valeur infinie automatique.
Pour aller plus loin
L’ANOVA à un facteur ouvre trois prolongements distincts : les comparaisons post-hoc pour repérer les groupes différents, les mesures de taille d’effet pour quantifier la part de variation expliquée, et les modèles multifactoriels pour étudier plusieurs facteurs ainsi que leurs interactions. Chacun répond à une question que le seul test global ne résout pas.
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