analyse discriminante factorielle

Imaginez six points décrits par deux mesures et déjà répartis en deux groupes, A et B. Sur le graphique, les points d'un même groupe restent proches, tandis que les deux groupes occupent des zones différentes. On cherche alors une direction sur laquelle leur projection les sépare nettement.

L'analyse discriminante factorielle construit précisément cette direction. Elle favorise l'écart entre les centres des groupes, mais pénalise l'étalement des points à l'intérieur de chaque groupe. Lorsque les mesures sont exprimées dans des unités comparables ou standardisées, les coefficients les plus grands en valeur absolue signalent celles qui contribuent le plus à cette direction.

L'analyse discriminante factorielle, aussi appelée analyse factorielle discriminante ou AFD, est une méthode multivariée introduite par Fisher en 1936. Chaque individu appartient à l'un de q groupes connus, définis par une variable qualitative, et possède p mesures quantitatives. L'AFD cherche des combinaisons linéaires de ces mesures qui reproduisent au mieux cette partition.

La matrice S_W mesure la dispersion des individus autour du centre de leur propre groupe ; la matrice S_B mesure la dispersion des centres de groupe autour du centre général. Pour un vecteur de coefficients a tel que a^TS_Wa > 0, le critère de Fisher est : $\frac{a^{\mathsf{T}}{S}_{B}a}{a^{\mathsf{T}}{S}_{W}a}\backslash frac\{a^\{\backslash mathsf\; T\}S\_Ba\}\{a^\{\backslash mathsf\; T\}S\_Wa\}$. Un axe discriminant maximise ce rapport : deux centres éloignés sont favorisés, tandis qu'un fort étalement interne est pénalisé.

Lorsque S_W est inversible, les axes s'obtiennent par un problème de valeurs propres généralisé reliant S_B et S_W. Il existe au plus min(p, q − 1) axes discriminants non triviaux. Géométriquement, le calcul revient à analyser les centres de gravité des groupes après pondération et transformation par la dispersion interne. L'analogie avec une ACP des centres ne vaut donc qu'après cette adaptation, et non comme une ACP ordinaire de leurs coordonnées initiales.

Deux mesures x₁ et x₂ décrivent six individus. Le groupe A contient (1, 1), (2, 2) et (2, 1). Le groupe B contient (4, 3), (5, 4) et (5, 3). Les deux groupes ont donc le même effectif : trois individus.

1. Les centres sont μ_A = (5/3, 4/3) et μ_B = (14/3, 10/3). Leur différence vaut μ_B − μ_A = (3, 2).

2. En additionnant, dans chaque groupe, les produits des écarts au centre, on obtient la dispersion intragroupe non normalisée (la somme des produits d'écarts, sans division par un effectif) :

3. Comme il n'y a que deux groupes, un seul axe discriminant suffit. Un vecteur directeur est :

4. Le score linéaire d'un point (x₁, x₂), défini par a^Tx et distinct d'une coordonnée de projection orthogonale normalisée, vaut 2x₁ + x₂/2. Les scores de A sont 2,5 ; 5 ; 4,5, de moyenne 4. Ceux de B sont 9,5 ; 12 ; 11,5, de moyenne 11. Les deux séries ne se chevauchent pas. Le contrôle donne 11 − 4 = 7, égal au produit scalaire 2 × 3 + (1/2) × 2 entre (2, 1/2) et l'écart (3, 2) des centres.

L'AFD convient lorsque les groupes sont connus avant l'analyse et que chaque individu est décrit par plusieurs variables quantitatives. Le premier geste consiste à comparer visuellement les centres et l'étalement interne : des centres distincts ne suffisent pas si les groupes sont très dispersés.

Pour interpréter un axe, on examine le signe et l'amplitude des coefficients associés aux variables, puis les scores des individus. Une variable contribue à la séparation observée ; elle ne devient pas pour autant une cause du groupe.

Si aucune partition préalable n'existe et que l'objectif est seulement de résumer la variabilité, l'ACP est l'alternative naturelle. Si les groupes existent, l'AFD doit encore être contrôlée sur des individus non utilisés pour construire les axes avant d'en faire une règle de classement.

L'AFD ne doit pas être confondue avec l'analyse en composantes principales. L'ACP cherche des directions de forte variabilité sans utiliser d'étiquettes de groupe ; l'AFD utilise une partition connue et cherche des directions qui séparent ses groupes. Sur les six points de l'exemple, retirer les étiquettes A et B laisse encore une ACP possible, mais empêche de définir le critère discriminant.

Avec un seul groupe, donc q = 1, aucune séparation intergroupe n'existe. Avec q groupes, le nombre d'axes utiles ne peut pas dépasser q − 1 : demander davantage d'axes ne crée aucune information discriminante supplémentaire.

Si une variable est combinaison exacte d'autres variables, ou si les individus sont trop peu nombreux au regard des mesures, S_W peut être singulière. L'inverse utilisée dans l'exemple n'existe alors pas ; il faut retirer les redondances, réduire la dimension ou régulariser le calcul.

Une séparation parfaite sur les données de construction, comme dans l'exemple, ne garantit pas la même séparation sur de nouveaux individus. Le symptôme est une performance qui chute hors de l'échantillon ; une validation sur des données tenues à l'écart est alors nécessaire.

Enfin, les axes décrivent l'association entre les étiquettes et les mesures observées. Une variable dotée d'un coefficient important aide à distinguer les groupes dans ces données, mais cette observation ne démontre ni influence causale ni stabilité dans une autre population.

Pour comparer le rôle des groupes avec une analyse sans étiquettes, consultez analyse en composantes principales. Cette fiche montre comment construire des axes de forte variabilité avant de les opposer aux axes de séparation de l'AFD.