analyse canonique

Imaginez les mêmes élèves décrits par deux groupes de mesures. Le premier rassemble leur temps de révision et leur nombre d'exercices ; le second, deux résultats d'évaluation. Regarder chaque mesure isolément peut masquer une liaison d'ensemble.

L'analyse canonique fabrique donc un score dans chaque groupe, en pondérant ses variables. Elle choisit les deux scores dont la corrélation est la plus forte. Une forte corrélation canonique signale qu'une combinaison des habitudes et une combinaison des résultats varient ensemble ; elle ne dit pas, à elle seule, que l'une cause l'autre.

L'analyse canonique, ou analyse des corrélations canoniques, s'applique lorsque les mêmes n individus sont décrits par deux ensembles de variables quantitatives. Le premier ensemble forme un vecteur X et le second un vecteur Y. Une variable canonique est une combinaison linéaire des variables d'un ensemble : les coefficients a produisent le score U = aᵀX, et les coefficients b produisent le score V = bᵀY.

La première paire canonique maximise la corrélation entre U et V, sous une normalisation qui fixe leur variance à 1 : ${\rho }_1={\max }_{a,b}\mathrm{Corr}(a^{\mathsf{T}}X,b^{\mathsf{T}}Y),\mathrm{Var}(a^{\mathsf{T}}X)=\mathrm{Var}(b^{\mathsf{T}}Y)=1\backslash rho\_1=\backslash max\_\{a,b\}\backslash operatorname\{Corr\}(a^\{\backslash mathsf\; T\}X,b^\{\backslash mathsf\; T\}Y),\backslash quad\; \backslash operatorname\{Var\}(a^\{\backslash mathsf\; T\}X)=\backslash operatorname\{Var\}(b^\{\backslash mathsf\; T\}Y)=1$. Les paires suivantes maximisent encore cette corrélation, tout en imposant que chaque nouveau score soit non corrélé aux scores canoniques précédents de son propre groupe. Leur nombre ne peut pas dépasser le plus petit nombre de variables des deux ensembles.

Le calcul usuel suppose des matrices de covariance exploitables ; si elles sont singulières, les coefficients ne sont pas déterminés par la formule ordinaire sans adaptation. Géométriquement, des espaces confondus peuvent porter une corrélation canonique égale à 1, tandis que des espaces orthogonaux dans Rⁿ donnent des corrélations canoniques nulles. Entre ces extrêmes, les valeurs canoniques mesurent des liaisons linéaires successives.

Un groupe d'élèves est décrit par deux variables standardisées d'habitudes, X₁ et X₂, et deux variables standardisées de résultats, Y₁ et Y₂. Dans chaque groupe, les deux variables sont non corrélées et de variance 1. Les corrélations croisées valent 0,80 entre X₁ et Y₁, 0,30 entre X₂ et Y₂, et 0 pour les deux autres couples.

1. On rassemble les quatre corrélations croisées dans la matrice C :

2. Comme les variables sont standardisées et non corrélées dans chaque groupe, les directions canoniques sont ici les axes de cette matrice diagonale. La première paire est donc U₁ = X₁ et V₁ = Y₁.

3. Sa corrélation canonique vaut ρ₁ = 0,80. Après avoir écarté cette direction, la seconde paire est U₂ = X₂ et V₂ = Y₂, avec ρ₂ = 0,30.

4. Le contrôle consiste à calculer les valeurs singulières de C. Pour cette matrice diagonale, elles sont exactement 0,80 et 0,30 : on retrouve les deux corrélations canoniques, classées de la plus forte à la plus faible.

Pour relier deux batteries de mesures prises sur les mêmes individus, on centre les variables, on examine les matrices de covariance, puis on calcule les paires canoniques. Dans l'exemple, la première liaison, 0,80, est plus structurante que la seconde, 0,30.

On lit ensuite les coefficients des combinaisons pour savoir quelles variables contribuent aux scores U et V. Si le but est plutôt de prédire une variable réponse unique, une régression est plus directement adaptée que l'analyse symétrique de deux groupes.

Avant d'interpréter une forte valeur, on vérifie qu'elle ne repose pas sur des matrices singulières ou sur quelques observations atypiques. La corrélation décrit une liaison linéaire entre scores ; une conclusion causale exige d'autres arguments.

Corrélation simple. Elle relie deux variables prises une à une. L'analyse canonique relie deux combinaisons de variables : dans l'exemple diagonal, elle retrouve 0,80, mais selon la structure des corrélations croisées, les coefficients peuvent combiner plusieurs mesures.

Analyse en composantes principales. Celle-ci cherche, dans un seul ensemble, des directions qui résument sa variabilité. L'analyse canonique part de deux ensembles et maximise leur corrélation ; le critère n'est donc pas la variance expliquée dans un groupe isolé.

Régression multiple. La régression distingue des variables explicatives et une réponse à prédire. L'analyse canonique traite les deux groupes symétriquement : échanger X et Y ne change pas les corrélations canoniques.

Matrice singulière. Si une variable est une combinaison exacte des autres, la matrice de covariance n'est pas inversible. Le calcul canonique ordinaire devient indéterminé ; il faut retirer la redondance ou employer une adaptation régularisée.

Cas charnières. Une corrélation canonique ρ = 1 indique une liaison linéaire parfaite entre deux scores, tandis que ρ = 0 indique l'absence de liaison linéaire pour la paire considérée. Ces valeurs ne résument pas des relations non linéaires.

Coefficients instables. Des variables très redondantes au sein d'un groupe peuvent faire varier fortement les poids a et b. Il faut alors examiner la stabilité des coefficients et ne pas interpréter un poids isolé comme une contribution certaine.

Lecture causale. Une valeur élevée montre que deux scores linéaires varient ensemble, pas que l'un produit l'autre. Il faut conserver une interprétation associative tant qu'un dispositif d'étude ne justifie pas la causalité.

L'analyse en composantes principales permet de comparer l'objectif canonique à la recherche de directions résumant un seul ensemble de variables.

La matrice de corrélation fournit le support naturel pour examiner les liaisons deux à deux avant de construire des combinaisons canoniques.

La méthode a aussi été prolongée au-delà de deux ensembles de variables, par P. Horst en 1961 puis J. D. Carroll en 1968.