analyse factorielle

Imaginez cinq personnes qui passent trois tests. Les bons résultats ont tendance à aller ensemble, mais l'aptitude commune qui les rapproche n'est pas directement observée. Seules les trois notes le sont.

L'analyse factorielle cherche une ou plusieurs grandeurs cachées capables d'expliquer ces variations communes. Elle indique aussi dans quelle mesure chaque variable observée est liée à chaque facteur. Le facteur est donc une construction statistique proposée à partir des corrélations, et non une cause automatiquement démontrée.

L'analyse factorielle regroupe des méthodes multivariées qui représentent les dépendances entre plusieurs variables observées au moyen d'un petit nombre de facteurs non observés. Dans le modèle factoriel commun, le vecteur des observations est noté X, le vecteur des moyennes μ, la matrice des charges factorielles Λ, le vecteur des facteurs communs F et le vecteur des composantes spécifiques ε.

La matrice Λ décrit l'association de chaque variable à chaque facteur ; ε rassemble ce qui demeure propre aux variables et l'erreur. L'ajustement porte sur une matrice de covariance ou de corrélation. Il demande des observations comparables et une structure commune suffisamment présente pour être estimée. Le nombre de facteurs, la méthode d'estimation et une éventuelle rotation relèvent de choix distincts. Sans contraintes de normalisation, l'échelle, le signe et parfois l'orientation des facteurs ne sont pas uniques : l'interprétation doit donc s'appuyer sur les charges et sur le contexte, pas sur leur seul nom.

Cinq profils fictifs passent trois tests A, B et C. Le facteur commun F prend successivement les valeurs −2, −1, 0, 1 et 2. Les notes observées sont, dans le même ordre : A = 6, 8, 10, 12, 14 ; B = 12, 16, 20, 24, 28 ; C = 18, 24, 30, 36, 42. Cet exemple volontairement idéal ne comporte aucune composante spécifique.

1. Les moyennes des tests A, B et C valent respectivement 10, 20 et 30 points.
2. Après centrage, chaque profil est F fois le vecteur (2, 4, 6).
3. Les trois notes suivent donc exactement le modèle suivant.

4. En divisant par cinq la somme des produits centrés, la matrice de covariance obtenue est :

Le résultat est un facteur unique, avec des charges 2, 4 et 6 points par unité de F. Le contrôle est direct : pour F = 2, on retrouve A = 14, B = 28 et C = 42. Les corrélations égales à 1 signalent ici un cas parfait, non une situation ordinaire.

Dans un questionnaire composé de nombreux items numériques, on examine la matrice de corrélation pour rechercher des dimensions communes. Si le but est seulement de condenser la variance observée, l'analyse en composantes principales est l'alternative adaptée.

Pour construire un score, on inspecte les charges factorielles : des variables fortement associées au même facteur peuvent décrire une dimension commune. Des charges faibles ou réparties entre plusieurs facteurs invitent à revoir l'interprétation plutôt qu'à forcer une étiquette.

Lorsque les données sont des effectifs croisant des catégories, l'analyse factorielle des correspondances répond à une autre question. Son tableau de contingence la fait préférer au modèle de facteurs communs appliqué à des variables numériques.

Analyse en composantes principales. Elle construit des composantes comme combinaisons des variables afin de concentrer leur variance. L'analyse factorielle commune modélise plutôt leur covariance par des facteurs et des composantes spécifiques. Avec des mesures bruitées, cette variance spécifique peut rendre la distinction pertinente, sans garantir à elle seule une séparation nette : celle-ci dépend du modèle, de ses hypothèses et de la qualité des données.

Analyse factorielle des correspondances. Elle étudie les écarts à l'indépendance dans un tableau de contingence. Un tableau d'effectifs croisant deux catégories relève de l'AFC ; les trois notes numériques de l'exemple relèvent d'un modèle factoriel commun.

Classification. Une classification forme des groupes d'observations selon leur proximité. Une analyse factorielle construit des axes ou facteurs décrivant des dépendances entre variables. Obtenir des groupes de personnes, plutôt qu'une structure de variables, indique le premier objectif.

Facteur non identifiable sans convention. Changer simultanément le signe d'un facteur et de ses charges laisse le modèle inchangé. Avec plusieurs facteurs, certaines rotations conservent aussi l'ajustement. Il faut annoncer la normalisation et la rotation choisies.

Cas parfait trompeur. Dans l'exemple, les corrélations valent exactement 1 et la matrice de covariance est de rang 1. Ce seuil charnière révèle une dépendance linéaire parfaite. Des données réelles demandent d'estimer aussi les variations spécifiques et l'incertitude.

Structure commune trop faible. Si les corrélations sont faibles ou instables d'un échantillon à l'autre, les facteurs le seront aussi. Il faut alors augmenter l'information disponible, réexaminer les variables ou renoncer à une interprétation factorielle. Aucun seuil universel de corrélation ne garantit à lui seul un bon modèle.

Cause supposée, pas prouvée. Un facteur latent résume une structure de covariance ; il n'établit pas que cette grandeur cause les observations. Une interprétation causale exige des hypothèses et un protocole supplémentaires.

Analyse en composantes principales — Pour comparer une réduction de variance observée au modèle de facteurs communs et choisir selon la question posée.

Covariance — Pour revoir la quantité que le modèle factoriel cherche à reproduire entre chaque paire de variables numériques.