analyse des données

Imaginez quatre personnes décrites chacune par deux mesures. Une liste de nombres montre les valeurs, mais pas immédiatement les ressemblances ni les directions principales du nuage de points. L'analyse des données transforme ce tableau en une représentation plus lisible.

Elle peut regrouper les personnes aux profils voisins : c'est la classification. Elle peut aussi remplacer plusieurs variables par quelques axes synthétiques qui conservent l'essentiel des différences observées : c'est le rôle des méthodes factorielles.

L'analyse des données, au sens multivarié, rassemble des méthodes statistiques appliquées à un tableau qui croise une population d'individus et plusieurs variables. Un individu peut être une personne, un objet ou une observation ; une variable est un caractère mesuré ou relevé sur chacun. Le but est d'organiser l'information et d'en produire une représentation interprétable sans examiner séparément chaque colonne.

Deux familles répondent à des questions différentes. La classification rassemble des individus jugés homogènes selon un critère de proximité ; elle résume ainsi la population par des groupes, sans supprimer les individus du tableau. Les méthodes factorielles construisent quelques composantes synthétiques pour résumer de nombreuses variables. Une composante combine les variables initiales et sert d'axe pour représenter les individus.

Le choix dépend de la nature du tableau et de la question. L'analyse en composantes principales, ou ACP, s'applique à des variables numériques. L'analyse des correspondances traite des variables qualitatives par l'intermédiaire de leurs effectifs. Lorsque les variables sont séparées en deux groupes et que l'on cherche leurs liaisons, l'analyse canonique construit des combinaisons dans chaque groupe. Une représentation réduite reste un résumé : il faut toujours examiner la part d'information conservée et les choix de distance, de pondération ou de mise à l'échelle.

Quatre individus A, B, C et D sont décrits par deux variables numériques x et y, sans unité : A(1 ; 1), B(1 ; 3), C(5 ; 1) et D(5 ; 3). L'objectif est de résumer leurs positions, puis de former deux groupes homogènes.

1. Les moyennes de x et de y valent respectivement 3 et 2. Après centrage, les quatre points sont (−2 ; −1), (−2 ; 1), (2 ; −1) et (2 ; 1).

2. En divisant par les quatre individus, la matrice de covariance est :
La direction horizontale porte donc une variance de 4, contre 1 pour la direction verticale.

3. La variance totale vaut 4 + 1 = 5. Le premier axe de l'ACP, horizontal, en conserve 4 / 5 = 80 %. Projeter sur cet axe donne −2 pour A et B, puis 2 pour C et D.

4. Parmi les partitions en deux classes, la minimisation de l'inertie intra-classe, calculée avec les distances euclidiennes au carré, retient le regroupement {A, B} et {C, D} : il réunit les points de même abscisse. Le schéma permet de contrôler les deux paires, l'axe principal et le centre (3 ; 2). La somme 80 % + 20 % = 100 % vérifie la répartition de la variance.

Devant un tableau comportant beaucoup d'individus, la classification est utile si la question porte sur des profils récurrents. On la préfère à une simple liste lorsque la méthode retenue fait apparaître des groupes compacts ; la partition dépend aussi de la distance, du critère d'agrégation ou d'optimisation et du nombre de classes choisi.

Quand le tableau contient surtout de nombreuses variables numériques corrélées, l'ACP aide à les résumer. Le critère à regarder est la part de variance portée par les premiers axes ; si elle est faible, quelques axes ne suffisent pas.

Pour un tableau d'effectifs croisant des catégories, l'analyse des correspondances remplace l'ACP. Si les colonnes forment deux groupes de variables numériques et que la question concerne leur liaison, l'analyse canonique répond plus directement.

Analyse multivariée et statistique descriptive à une variable. Une moyenne ou un histogramme décrit une colonne isolée. L'analyse des données considérée ici cherche une structure commune à plusieurs variables observées sur les mêmes individus.

Réduction des individus et réduction des variables. Une classification résume la population par des groupes ; une méthode factorielle résume les variables par des composantes. Dans l'exemple, {A, B} est une classe, tandis que l'axe horizontal est une composante.

ACP et analyse des correspondances. L'ACP part de mesures numériques ; l'analyse des correspondances part d'effectifs associés à des catégories. Un tableau de tailles et de masses appelle la première, un tableau croisant deux catégories appelle la seconde.

Une échelle peut dominer les autres. En ACP ou en classification fondée sur une distance, une variable dont les valeurs varient de 0 à 10 000 peut masquer une variable comprise entre 0 et 1. Le symptôme est un premier axe ou des groupes presque entièrement dictés par cette colonne ; il faut alors justifier une standardisation.

Un axe court peut être indispensable. Dans l'exemple, le premier axe conserve 80 % de la variance, mais il confond A avec B et C avec D. La seconde coordonnée, qui porte 20 %, reste nécessaire si la différence verticale importe.

Un groupe dépend du critère choisi. Modifier la distance, le nombre de classes ou la pondération peut modifier la partition. Si de petits changements font basculer beaucoup d'individus, il faut signaler cette instabilité au lieu de présenter les classes comme naturelles.

Une liaison n'est pas une explication causale. Une proximité sur un plan factoriel ou une forte liaison entre deux groupes de variables décrit le tableau analysé. Pour conclure à une cause, il faut un protocole et des hypothèses qui ne sont pas fournis par cette seule représentation.

analyse en composantes principales — Approfondir la construction des axes qui résument des variables numériques.

analyse factorielle des correspondances — Voir comment un tableau d'effectifs qualitatifs produit des axes et des proximités.

analyse canonique — Examiner les liaisons entre deux groupes de variables à l'aide de combinaisons synthétiques.

L'analyse des correspondances — Prolonger la lecture par un article consacré à cette famille factorielle.