Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Covariance
La covariance de deux variables aléatoires X et Y est définie par Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])], où E désigne l'espérance mathématique. Elle mesure le degré de variation conjointe de X et Y autour de leurs moyennes respectives. Une covariance positive indique une tendance à varier dans le même sens, une covariance négative dans des sens opposés. La variance est la covariance d'une variable avec elle-même. Lorsque les deux écarts-types sont non nuls, le coefficient de corrélation est la covariance normalisée par leur produit.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter le signe d'une covariance.
- Refaire un calcul exact sur quatre couples de valeurs.
- Distinguer covariance, variance, corrélation et indépendance.
- Reconnaître les limites liées à l'échelle et au cas de covariance nulle.
En clair
Sur quatre journées, un compteur X affiche 1, 2, 3 puis 4, tandis qu'un compteur Y affiche 4, 2, 3 puis 1. Leurs écarts à leurs moyennes ont des signes opposés les journées 1 et 4, et le même signe les journées 2 et 3. La moyenne de leurs produits est négative : la covariance résume ce mouvement commun par un nombre.
Son signe donne le sens de la tendance : positif pour une variation allant plutôt ensemble, négatif pour une variation allant plutôt en sens contraire. Une valeur proche de zéro ne suffit toutefois pas à exclure toute relation.
Définition
Soient deux variables aléatoires réelles X et Y ayant des moments d'ordre deux finis. Leur covariance est l'espérance du produit de leurs écarts à leurs espérances respectives. En notant E l'espérance mathématique, elle s'écrit :
Une covariance positive traduit une tendance linéaire à s'écarter des moyennes dans le même sens ; une covariance négative, dans des sens opposés. Elle est symétrique : Cov(X, Y) = Cov(Y, X). Son unité est le produit des unités de X et Y, donc sa grandeur dépend des échelles choisies. Enfin, Cov(X, X) est la variance de X. La division par le produit des écarts-types, lorsqu'ils sont non nuls, donne le coefficient de corrélation.
Un exemple, pas à pas
On choisit au hasard l'une des quatre journées, avec la même probabilité pour chacune. La variable X prend les valeurs 1, 2, 3 et 4, tandis que la variable Y prend 4, 2, 3 et 1. Chaque couple a donc une probabilité de 1/4. Le nuage correspondant rend visible une tendance descendante, sans alignement parfait.
1. Les deux moyennes valent 2,5.
2. Les écarts de X sont −1,5 ; −0,5 ; 0,5 ; 1,5. Ceux de Y sont 1,5 ; −0,5 ; 0,5 ; −1,5.
3. Les produits correspondants sont −2,25 ; 0,25 ; 0,25 ; −2,25.
4. Leur moyenne vaut (−4)/4 = −1 : la covariance est donc −1.
2. Les écarts de X sont −1,5 ; −0,5 ; 0,5 ; 1,5. Ceux de Y sont 1,5 ; −0,5 ; 0,5 ; −1,5.
3. Les produits correspondants sont −2,25 ; 0,25 ; 0,25 ; −2,25.
4. Leur moyenne vaut (−4)/4 = −1 : la covariance est donc −1.
Le signe négatif concorde avec le mouvement global opposé. Pour contrôler le calcul, les variances de X et de Y valent chacune 1,25 ; la corrélation vaut donc −1/1,25 = −0,8, bien comprise entre −1 et 1.
En pratique
Dans un nuage de données, la covariance indique d'abord le sens de la liaison linéaire. On centre les deux colonnes, on multiplie les écarts ligne par ligne, puis on en prend la moyenne.
Pour comparer des liaisons portant sur des unités ou des échelles différentes, on préfère le coefficient de corrélation. La covariance reste adaptée quand l'échelle et l'unité font partie de l'interprétation.
Avec plusieurs variables, leurs covariances deux à deux sont rassemblées dans une matrice de covariance. Sa diagonale contient les variances ; les autres cases décrivent les variations conjointes.
À ne pas confondre
Covariance et corrélation. La covariance conserve les unités et change avec l'échelle. Lorsque les deux écarts-types sont non nuls, la corrélation la normalise entre −1 et 1. Dans l'exemple, ces deux nombres valent respectivement −1 et −0,8.
Covariance et variance. La covariance associe deux variables, tandis que la variance mesure la dispersion d'une seule. Le cas Cov(X, X) est précisément Var(X), toujours positive ou nulle.
Absence de corrélation et indépendance. L'indépendance implique une covariance nulle lorsque celle-ci existe. La réciproque est fausse en général : une dépendance non linéaire peut subsister.
Limites et pièges
Covariance nulle. Le seuil zéro signale l'absence de liaison linéaire mesurée, pas l'absence de toute dépendance. Il faut alors examiner le nuage de points ou une relation non linéaire plausible.
Échelle trompeuse. Multiplier X par 100 multiplie Cov(X, Y) par 100, sans renforcer la liaison sous-jacente. Pour comparer des situations d'échelles différentes, il faut normaliser avec la corrélation.
Écart-type nul. Si l'une des variables est constante, sa covariance avec toute variable vaut zéro, mais la corrélation est indéfinie car son dénominateur est nul.
Population ou échantillon. Dans l'exemple équiprobable, la somme est divisée par 4. Pour estimer sans biais une covariance de population à partir de quatre couples indépendants de même loi, la convention usuelle divise plutôt par 3.
Pour aller plus loin
La fiche variable aléatoire précise les objets auxquels l'espérance et la covariance s'appliquent.
La variance d'une variable aléatoire approfondit le cas où les deux variables de la covariance sont identiques.
Le coefficient de corrélation montre comment normaliser la covariance pour comparer l'intensité de liaisons linéaires.
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