coefficient de corrélation

Imaginez cinq personnes classées selon deux résultats. Si les points du graphique montent globalement de gauche à droite, les deux résultats ont tendance à augmenter ensemble. S'ils descendent, l'un tend à diminuer quand l'autre augmente. Le coefficient de corrélation résume ce mouvement par un nombre entre −1 et 1.

Plus sa valeur est proche de 1 ou de −1, plus les points suivent une droite. Une valeur proche de 0 signale seulement que cette tendance droite est faible, pas que les deux variables sont indépendantes.

Le coefficient de corrélation linéaire de Pearson s'applique à deux variables quantitatives observées par couples. Pour n couples de valeurs, on note x_i et y_i les deux valeurs du couple numéro i, puis x̄ et ȳ leurs moyennes respectives. Si les deux séries ont chacune une dispersion non nulle, le coefficient r est défini par :Cette écriture équivaut à diviser la covariance par le produit des écarts-types, à condition d'employer la même convention de normalisation dans les trois quantités.

Le coefficient r est sans dimension et appartient à l'intervalle [−1 ; 1]. Le signe indique le sens de la liaison : positif lorsque les valeurs tendent à évoluer ensemble, négatif lorsqu'elles tendent à évoluer en sens opposés. La valeur absolue renseigne sur l'alignement linéaire. Les valeurs 1 et −1 correspondent à un alignement parfait sur une droite de pente respectivement positive ou négative.

Une valeur égale à 0 signifie que la covariance est nulle et qu'aucune liaison linéaire n'est détectée. Elle n'exclut ni une dépendance courbe ni une autre forme de relation. Si l'une des deux séries est constante, son écart-type est nul : le quotient n'est alors pas défini.

On observe cinq couples : les valeurs de X sont 1, 2, 3, 4 et 5 ; celles de Y sont 2, 4, 5, 4 et 5. Le nuage associé permet de contrôler visuellement le sens de la liaison, mais le coefficient demande un calcul.

1. Les moyennes sont x̄ = 3 et ȳ = 4.
2. Les écarts à ces moyennes sont (−2, −1, 0, 1, 2) pour X et (−2, 0, 1, 0, 1) pour Y.
3. La somme des produits des écarts vaut 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6.
4. Les sommes des carrés valent 10 pour X et 6 pour Y.

On obtient donc :Le signe positif concorde avec la montée générale du nuage. Le résultat reste inférieur à 1, car les cinq points ne sont pas parfaitement alignés. Le contrôle numérique est refaisable : le carré du résultat exact vaut 9/15 = 0,6.

Avant de calculer r, tracez le nuage de points. Une forme approximativement allongée rend la corrélation de Pearson pertinente ; une courbe marquée invite à décrire ou modéliser cette relation non linéaire autrement.

Pour comparer deux grandeurs exprimées dans des unités différentes, r est commode parce qu'il est sans dimension. Conservez toutefois les unités et les échelles dans le graphique : elles restent nécessaires pour interpréter les données.

Si quelques valeurs extrêmes dominent le nuage ou si la relation paraît seulement monotone, examinez les points individuellement. Une corrélation de rang peut être préférable lorsque l'ordre des observations compte davantage que leur alignement sur une droite.

Corrélation et covariance. La covariance dépend des unités et de leur échelle, tandis que le coefficient de corrélation la normalise entre −1 et 1. Convertir des mètres en centimètres change la covariance, mais pas r si le facteur de conversion est positif.

Corrélation et coefficient de détermination. Dans une régression linéaire simple avec constante, le coefficient de détermination R² est le carré de r. Il ne conserve donc pas le signe : r = −0,8 et r = 0,8 donnent tous deux R² = 0,64 dans ce cadre.

Corrélation et causalité. Une forte valeur absolue de r décrit une association linéaire dans les données ; elle ne montre pas que l'une des variables provoque l'autre. Une variable commune ou le mode de collecte peut produire la même observation.

Dépendance non linéaire. Des points placés symétriquement sur une parabole peuvent donner r = 0 alors que Y est entièrement déterminée par X. Le symptôme est une forme courbe dans le nuage ; il faut étudier cette forme au lieu de conclure à l'absence de relation.

Série constante. Si toutes les valeurs de X, ou toutes celles de Y, sont identiques, l'écart-type correspondant vaut 0. La division par ce produit nul est impossible : r n'est pas défini, même si un logiciel affiche une valeur manquante ou un avertissement.

Valeur extrême. Un seul point éloigné peut modifier fortement le signe ou la valeur de r. Comparez le calcul avec et sans ce point, vérifiez s'il s'agit d'une erreur et justifiez toute exclusion plutôt que de la décider pour améliorer le résultat.

Interprétation mécanique. Aucun seuil universel ne transforme, par exemple, |r| = 0,7 en « forte corrélation ». La taille de l'échantillon, le domaine étudié, l'incertitude et la forme du nuage déterminent ce que cette valeur permet raisonnablement d'affirmer.

La covariance éclaire le numérateur de r et montre pourquoi la normalisation par les écarts-types rend la corrélation sans dimension.

L'écart-type précise la mesure de dispersion utilisée pour mettre les deux variables sur une échelle comparable.

La régression linéaire prolonge l'étude en ajustant une droite, tandis que le coefficient de détermination mesure la part de variation expliquée dans ce cadre.